Principi d’Arquímedes Estudi analític del compliment del principi d’Arquímedes

Què entenem per Principi d’Arquímedes Arquímedes(s. III aC) va enunciar el principi següent: Tot cos submergit en un fluid experimenta una força vertical i cap amunt, anomenada empenyiment E (o empenta), igual al pes de fluid que desallotja. E = pes del fluid desallotjat = m (fluid desallotjat) · g P = pes del objecte = m (objecte) · g E P El pes del cos, P, no canvia, sinó que a causa de l’empenta E sembla més lleuger. El cos submergit té un pes aparent: Pa = P – E

▪ Quan el pes del cos P supera l’empenta el cos s’enfonsa (fig. 2) ▪ Quan el pes del cos P supera l’empenta el cos s’enfonsa (fig.2). En cas contrari, si l’empenta E supera al pes del cos (fig.1), llavors experimenta una força cap amunt que eleva al cos fins que una part del seu volum quedi fora del fluid i llavors puguin equilibrar-se l’empenta i el pes. En altres paraules, que el Pa valgui zero (fig.3). E P Figura 1 Figura 2 Figura 3 E > P  Sura E<P S’enfonsa E=P Resta immòbil ▪ Quins factors propicien que l’empenta sigui superior o inferior al pes del cos? Només un, la densitat (r). Si la densitat del cos C és menor que la del líquid L, l’empenta és més gran que el pes i el cos sura. En cas contrari, el cos s’enfonsa. Un cos sura si:    rC < rL      i, per tant,      P < E Un cos s’enfonsa si:     rC > rL      i, per tant,      P > E En aquesta pràctica usarem cossos amb r major que la de l’aigua que serà el líquid on es submergirà.

Es compleix sempre aquesta llei? Aquesta llei es compleix sempre. És precisament el seu compliment el que permet el funcionament dels submarins, la flotabilitat dels vaixells, i dels cossos en general.

Investigació ▪ En aquesta pràctica els alumnes hauran de calcular l’empenta hidrostàtica que rep un cos problema dins l’aigua, així com el volum del cos, el qual també s’estimarà per observació directa amb l’ajut d’una proveta graduada. ▪ Finalment es calcularà la massa del cos i la seua densitat. ▪ Les dades experimentals s’enregistraran amb l’ajut d’un sensor de força, la consola MultilogPro i el programa MultiLab.

Hipòtesi ► Penseu que un cos pesa més o menys en funció del fluid on estiga immers? ► Penseu que un vaixell té més o menys densitat que l’aigua? ► Penseu que un submarí pot modificar la seua densitat voluntàriament? ► Penseu que les aus tenen menys densitat que l’aire? Volen pel Principi d’Arquímedes?

Material Material de laboratori  Proveta graduada de 250 ml Elements de l’equip MultiLog  Consola amb cable USB i adaptador AC/DC (el sensor de força no funciona amb la pila de la interfície)  Sensor de força (rang: ±10 N; resolució: 0,024 N) Material de laboratori  Proveta graduada de 250 ml  Suport i pinça  Nou  Peses i suport de peses  Objecte

Procediment ▪ 1. Amb l’ajut d’un suport, pinces i nous, munteu el sensor de força com mostra la figura següent: Sensor de força ▪ 2. Obriu la consola i el programa MultiLab i configureu l’equip seguint les instruccions del guió. ▪ 3. Ompliu la proveta d’aigua i deixeu-la preparada.

▪ 4. Comenceu l’enregistrament captació de dades, calculant la força resultant sobre el cos problema (o les peses, el que indique el professor) fora i dins del líquid. Anoteu els valors.

Anàlisi i tractament de dades Una vegada tingueu totes les dades, a partir de la taula que tindreu en pantalla: Seguint les indicacions del guió de pràctiques, heu de calcular l’empenta, el volum del cos, la seua massa i la seua densitat, així com contestar a les qüestions del guió.

Context històric Arquímedes (Siracusa (Sicília), 287 – 212 a.C.) va ser un matemàtic, físic, astrònom, filòsof i enginyer grec.

▪ Biografia Arquímedes, fill d’un l’astrònom Fídies estava emparentat amb el rei Hieron II, la qual cosa li hauria facilitat l’accés a elevats i cobejats llocs; no obstant, va preferir consagrar-se a l’estudi de les matemàtiques sota la direcció de Euclides en Alexandria. Molt jove encara va començar a destacar pels seus treballs científics entre els que destaca la dessecació dels pantans de Egipte, considerada fins llavors per irrealitzable. ▪ Ja a Siracusa, Arquímedes va prosseguir els seus estudis de geometria i mecànica aconseguint descobrir principis que han immortalitzat el seu nom. ▪ Durant l’assetjament de Siracusa pel general romà Marcus Claudius Marcellus, Arquímedes es va posar a disposició de Hieron, duent a terme prodigis en defensa de la seva ciutat natal, podent-se afirmar que ell només va sostenir la plaça contra l’exèrcit romà. Entre la maquinària de guerra la invenció de la qual se li atribueix està la catapulta i un sistema d’espills i lents que incendiava els vaixells enemics al concentrar els rajos del sol; tan és així que segons alguns historiadors era prou veure aguaitar després de les muralles algun soldat amb qualsevol objecte que despedira brillants reflexos perquè estenguera l’alarma entre l’exèrcit assetjador. ▪ No obstant, els confiats habitants de Siracusa, tenint-se a bon recaptació davall la protecció d’Arquímedes, van descuidar les seues defenses, circumstància que va ser aprofitada pels romans per a entrar a l’assalt en la ciutat.

▪ Malgrat les ordes del cònsol Marcel de respectar la vida del savi, durant l’assalt un soldat que ho va trobar abstret en la resolució d’algun problema, potser creient que els brillants instruments que portava eren d’or o irritat perquè no contestava a les seues preguntes, li va travessar amb la seva espasa causant-li la mort. Principi d’Arquímedes ▪ Conta la història que el rei Hieron, va fer entrega a un joier de la ciutat certa quantitat d’or i argent per al llaurat d’una corona. Finalitzat el treball, Hieron, desconfiat de l’honradesa de l’artífex , va sol·licitar a Arquímedes que conservant la corona en la seva integritat determinara si el joier, impulsat per l’avarícia, l’havia rebaixat, guardant-se per a si part de l’or i substituint-lo per argent. ▪ Arquímedes no trobava solució al problema fins que un bon dia al submergir-se en el bany va advertir, com tantes vegades amb anterioritat, que a causa de la resistència que l’aigua oposa, el cos sembla pesar menys, fins al punt que en alguna ocasió inclús és sostingut a surar sense submergir-se. Pensant en això va arribar a la conclusió que en entrar el seu cos en la banyera, ocupava un lloc que forçosament deixava de ser ocupat per l’aigua, i va endevinar que el que menys pesava ell era precisament el que pesava l’aigua que havia desallotjat.

▪ Donant per resolt el problema que tant li havia preocupat va ser tal la seva excitació que nu com estava, va botar de la banyera, i es va llançar pels carrers de Siracusa al crit de Eureka! Eureka! (Ho he trobat! Ho he trobat!). Va procedir llavors Arquímedes a pesar la corona en l’aire i en a l’aigua comprovant que en efecte, la seva densitat no corresponia a la que haguera resultat d’emprar el joier tot l’or i la plata entregats i determinant, en conseqüència, que aquest havia estafat el Rei. ▪ Principi d’Arquímedes: tot cos submergit en un fluid experimenta una empenta vertical i cap amunt igual al pes de fluid desallotjat. ▪ A banda d’aquest principi va fer altres notables descobriments com, anticipar-se al descobriment del càlcul integral; va inventar una màquina per a l’elevació d’aigua, el cargol d’Arquímedes així com la balança que porta el seu nom; va enunciar la llei de la palanca el que li va portar a proferir la cèlebre frase Doneu-me un punt de suport i mouré el món; va inventar la corriola composta, basada en el principi de la palanca, emprant-la per a moure un gran vaixell per a sorpresa de l’escèptic Hieron; etc.

▪ Va ser autor de nombroses obres de variada temàtica en què destaca el rigor de les seues demostracions geomètriques, raó per la qual és considerat el més notable científic i matemàtic de l’antiguitat. Encara que molts dels seus escrits es van perdre en la destrucció de la Biblioteca d'Alexandria, han arribat fins als nostres dies a través de les traduccions llatines i àrabs.