Comprensión de la representación de los números reales en la recta: Un modo de indagación Marcela Cifuentes – Ma. Teresa Juan – Virginia Montoro – Martha Ferrero Grupo de Investigación en Pensamiento y Educación Matemática Departamento de Matemática Centro Regional Universitario Bariloche Universidad Nacional del Comahue

Introducción Este trabajo se realiza en el marco de una tesis de Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales con orientación en Matemática, que tiene como finalidad estudiar cómo comprenden la representación de los números reales en la recta estudiantes de secundaria y universidad. Nuestro interés PROCESOS COGNITIVOS EN MATEMÁTICA CONCEPCIONES (personales) ≠ CONCEPTOS (consensuados en comunidades científicas)

Introducción Números Reales Recta numérica Continuo Geométrico Representación Recta numérica Continuo Geométrico COMPRENSIÓN Biyección entre IR y la recta

Complejidad epistemológica, cognitiva y educativa “La recta está constituida por puntos” Es una afirmación que ha generado controversia y debate INFINITO-CONTINUIDAD-DENSIDAD-ORDEN Cantor y Dedekind establecen de forma axiomática la biyección entre los números reales y el conjunto ordenado de puntos que componen la recta

Objetivo de la presentación ¿Cómo los estudiantes de colegio secundario y de universidad comprenden la representación de los números reales en la recta? INSTRUMENTO DE INDAGACIÓN Objetivo de la presentación Describir el diseño de dicho instrumento

Metodología INSTRUMENTO DE INDAGACIÓN CUESTIONARIO (11 tareas) Estudiantes de colegio secundario y de universidad Currículos + Programas de matemática Entrevistas a profesores Tareas ya aplicadas Prueba piloto

Población: Estudiantes de 1º, 3º y 5º (o 6º) año de dos escuelas de nivel medio, una con orientación técnica. Estudiantes de primer año y de los últimos años de la Universidad de las carreras de Matemática, Ingenierías y Biología. Momento de aplicación del cuestionario: en el colegio (o en la Universidad) en horas libres o dentro de alguna clase particular pero no como parte de la misma. Análisis Multivariado que permita el estudio integrado de las respuestas a las 11 tareas

Objetivos del cuestionario Analizar las concepciones de estudiantes de secundaria y universidad, respecto de la asociación recta-números reales. Estudiar si existe relación entre la identificación punto-número real que realizan los estudiantes con el tipo de número y con las distintas notaciones presentadas. Analizar las concepciones de los estudiantes sobre la naturaleza de la recta numérica. Analizar cómo conciben los estudiantes el orden, la densidad y la completitud de los números reales en relación al orden, la densidad y la continuidad de la recta. Estudiar la idea de los estudiantes sobre la necesidad del cero y la unidad a la hora de representar números reales en la recta.

X X Tarea 1-2 Tarea 3-4 Tarea 5-6 Tarea 7 Tarea 8 Tarea 9 Tarea 10   Tarea 1-2 Tarea 3-4 Tarea 5-6 Tarea 7 Tarea 8 Tarea 9 Tarea 10 Tarea 11 I. Biyección (N°  punto) X (punto  N°) II. Conjuntos numéricos y representación en la recta II. Tipos de notación y representación en la recta II. Construibles Conmensurables  X III. Naturaleza de la recta como soporte de los n°s IR IV. Orden, densidad, completitud de los reales y orden, densidad y continuidad de la recta V. Necesidad del cero y la unidad

Tarea 1.

Tarea 2

Lógica de la tarea 1 Naturales

Lógica de la tarea 1 Racionales no Enteros

Lógica de la tarea 1 Irracionales

Lógica de la tarea 1 1,9999… = 2

Lógica de la tarea 1 Inconmensurable con la unidad propuesta

Lógica de la tarea 1 ¿ π = 3,1415 ?

Lógica de la tarea 1 Construible vs No construible

X X Tarea 1-2 Tarea 3-4 Tarea 5-6 Tarea 7 Tarea 8 Tarea 9 Tarea 10   Tarea 1-2 Tarea 3-4 Tarea 5-6 Tarea 7 Tarea 8 Tarea 9 Tarea 10 Tarea 11 I. Biyección (N°  punto) X (punto  N°) II. Conjuntos numéricos y representación en la recta II. Tipos de notación y representación en la recta II. Construibles Conmensurables  X III. Naturaleza de la recta como soporte de los n°s IR IV. Orden, densidad, completitud de los reales y orden, densidad y continuidad de la recta V. Necesidad del cero y la unidad

Tarea 9

Lógica de la tarea 9 Recta como sostén de los n°s 3 Situaciones hipotéticas

Lógica de la tarea 9 IR=Q

Lógica de la tarea 9 IR=Q

Lógica de la tarea 9 IR=Q

X X Tarea 1-2 Tarea 3-4 Tarea 5-6 Tarea 7 Tarea 8 Tarea 9 Tarea 10   Tarea 1-2 Tarea 3-4 Tarea 5-6 Tarea 7 Tarea 8 Tarea 9 Tarea 10 Tarea 11 I. Biyección (N°  punto) X (punto  N°) II. Conjuntos numéricos y representación en la recta II. Tipos de notación y representación en la recta II. Construibles Conmensurables  X III. Naturaleza de la recta como soporte de los n°s IR IV. Orden, densidad, completitud de los reales y orden, densidad y continuidad de la recta V. Necesidad del cero y la unidad

Tarea 10

Lógica de la tarea 10 Invitando a los estudiantes a que jueguen el “juego”

Lógica de la tarea 10 Respuestas de tipo verbales

Lógica de la tarea 10 Respuestas de tipo gráficas

Lógica de la tarea 10 Noción de infinito

Reflexiones finales La secuencia diseñada es un instrumento que puede ser aplicado a una amplia población. Según la prueba piloto el tiempo de aplicación estimado es de 45 minutos aprox. Por tratarse de una secuencia integral consideramos que permitirá realizar un análisis global de las respuestas obtenidas. Puede convertirse en una herramienta docente y en consecuencia permitiría repensar los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Muchas gracias!!!