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El Teorema de Rolle Funciones Crecientes Valores extremos de Funciones Teorema de Rolle Teoremas del valor medio Teorema de Rolle.

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Presentación del tema: "El Teorema de Rolle Funciones Crecientes Valores extremos de Funciones Teorema de Rolle Teoremas del valor medio Teorema de Rolle."— Transcripción de la presentación:

1 El Teorema de Rolle Funciones Crecientes Valores extremos de Funciones Teorema de Rolle Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

2 Funciones crecientes (1) Esto es debido a que f es creciente. La derivabilidad implica que el límite existe. Teorema Supongamos que la función f es derivable en el punto x 0, y que f(x 0 ) > 0. Entonces existe un número positivo tal que 1)f(x) > f(x 0 ) para x 0 < x < x 0 +, y 2)f(x) < f(x 0 ) para x 0 – < x < x 0. Suponemos que la función f es creciente y derivable en todo su dominio. Entonces.Por tanto podemos afirmar

3 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Funciones crecientes (2) Teorema Demostración Supongamos que la función f es derivable en el punto x 0 y que f(x 0 ) > 0. Entonces existe un número positivo tal que 1)f(x) > f(x 0 ) para x 0 < x < x 0 +, y 2)f(x) < f(x 0 ) para x 0 – < x < x 0. Esto implica que si x – x 0 es positivo, entonces también f(x) – f(x 0 ) es positivo demostrando la primera afirmación. La segunda afirmación se puede comprobar del mismo modo. Por lo tanto,

4 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Extremos locales a b f x1x1 x2x2 Definición Un punto x 1 del intervalo abierto (a,b) es un máximo local de la función f si, para valores de x cercanos al punto x 1, f(x) f(x 1 ). Un punto x 2 del intervalo abierto (a,b) es un mínimo local de la función f si, para valores de x cercanos al punto x 2, f(x) f(x 2 ). En la figura de la derecha, el punto x 1 es un máximo local y el punto x 2 un mínimo local de la función f. Un extremo local de una función es un máximo local o a un mínimo local. Los valores de la función en sus puntos extremos se llaman valores extremos.

5 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Criterio para Extremos Locales Teorema Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si c (a,b) es un extremo local de la función f, entonces la derivada de f se anula en el punto c, es decir f(c)=0. Supongamos que c (a,b) es un máximo local o un mínimo local de la función f. Si f(c) > 0, entonces, por el Teorema anterior, cerca del número c y a la derecha de c, la función f toma valores mayores que f(c). A la izquierda del número c la función toma valores menores que f(c). Por lo tanto c no puede ser un extremo local.el Teorema anterior Del mismo modo, podemos ver que f(c) no puede ser negativa. Concluimos que f(c) = 0. Demostración

6 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Extremos de Funciones Continuas Teorema Una función f que es continua en el intervalo cerrado [a,b] alcanza su máximo y su mínimo en [a,b]. No vamos a demostrar el resultado aquí. Mediante razonamientos geométricos, el resultado parece convincente y una demostración rigurosa usa argumentos afines a aquellos usados en la demostración del Teorema de los Valores Intermedios para Funciones Continuas.Teorema de los Valores Intermedios

7 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Para hallar los extremos Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Para hallar los extremos de f en el intervalo [a,b], ten en cuenta los siguientes pasos: 1.Calcula la derivada de la función f. 2.Encuentra las raíces de la derivada en el intervalo (a,b). 3.Calcula los valores de f en los puntos que son las raíces de la derivada y en los extremos a y b del intervalo. 4.Dentro de estos valores calculados, elige el mayor y el menor. Ésos son los extremos ABSOLUTOS de la función f.

8 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Teorema de Rolle Teorema Sea f una función tal que: 1.f es continua en el intervalo cerrado [a,b], 2.f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y 3.f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f se anula, es decir, f(c) = 0. Teorema de Rolle gráficamente cab El Teorema de Rolle afirma que, si f(a) = f(b), entonces existe un punto c entre a y b tal que la tangente a la gráfica de f en (c,f(c)) es horizontal.

9 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Teorema de Rolle Teorema Demostración Si f(x)=f(a)=f(b) para todo x entre a y b, entonces f es una función constante, y la derivada de f se anula para todo x, y c puede ser cualquier punto entre a y b. Sea f una función tal que: 1.f es continua en el intervalo cerrado [a,b], 2.f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y 3.f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f se anula, es decir, f(c) = 0.

10 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Teorema de Rolle Teorema Demostración (cont.) Si f no es una función constante, entonces o su máximo en [a,b] es mayor que f(a) o su mínimo es menor que f(a). Suponemos que el máximo de f [a,b] es mayor que f(a). Entonces, como f(b) = f(a), f alcanza su máximo en el punto c (a,b). Por el Criterio para Extremos Locales, concluimos que f(c) = 0.Criterio para Extremos Locales Si el máximo de f en [a,b] no es mayor que f(a), entonces su mínimo es menor. Y se puede aplicar el Criterio para Extremos Locales al mínimo de f para concluir la existencia de c. Supongamos que f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), con f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que f(c) = 0.

11 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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