La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

El Valor Absoluto Valores Absolutos de Número Reales Distancia entre Números Reales Desigualdades triangulares Demostración de las desigualdades triangulares.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "El Valor Absoluto Valores Absolutos de Número Reales Distancia entre Números Reales Desigualdades triangulares Demostración de las desigualdades triangulares."— Transcripción de la presentación:

1 El Valor Absoluto Valores Absolutos de Número Reales Distancia entre Números Reales Desigualdades triangulares Demostración de las desigualdades triangulares Propiedades de los Valores Absolutos Ejemplos Números reales/El valor absoluto.

2 El Valor Absoluto Definición El valor absoluto |x| de un número real x se define como Tomar el valor absoluto de un número es una operación que convierte un número negativo en uno positivo cambiando el signo del número en cuestión. El valor absoluto de un número positivo es el mismo número positivo.

3 Números reales/El valor absoluto. El Valor Absoluto Ejemplo |-5| = 5 y |2| = 2. Así si x 2 se tiene |x – 2| = x – 2 Y si x 2 se tiene |x – 2| = 2 – x.

4 Números reales/El valor absoluto. El Valor Absoluto Propiedad Importante – |x| x |x| siempre y |b| |a| si y sólo si – |a| b |a|.

5 Números reales/El valor absoluto. La distancia entre Números Reales La distancia entre dos números reales x e y es |x – y|. x y |x – y|

6 Números reales/El valor absoluto. La distancia entre Números Reales La distancia entre dos números reales x e y es |x – y|. Ejemplo Hallar todos los números x tal que la suma de sus distancias a 1 y -1 sea 4. Solución Estos números cumplen |x – 1| + |x + 1| = 4. Para resolver la ecuación, debemos eliminar los valores absolutos. Para ello, observamos que si x 1, tanto x – 1 como x + 1 son positivos. Por lo tanto, para x 1, se tiene |x – 1| + |x + 1| = x – 1 + x + 1 = 2x. La ecuación original ahora resulta 2x = 4, esto es, x = 2. Esta es una solución ya que 2 > 1. Si –1 < x < 1, la ecuación se simplifica hasta 2 = 4, que no tiene solución. Para x -1, la ecuación se convierte en -2x = 4, esto es, x = –2. Conclusión: los puntos son x = 2 y x = -2.

7 Las desigualdades triangulares Desigualdades triangulares Tendremos igualdad en la parte izquierda si el signo de x e y son opuestos (o si uno de ellos es 0). ||x| - |y|| |x + y| |x| + |y|. Las desigualdades triangulares son desigualdades matemáticas muy útiles. Se aplica a muchas situaciones. Son las siguientes: Tendremos igualdad en la parte derecha si el signo de x e y son iguales (o si uno de ellos es 0). ab c Las desigualdades triangulares recibe su nombre del hecho de que para un triángulo de lados de longitud a, b, and c, c a + b. Números reales/El valor absoluto.

8 Demostración de las Desigualdades >Triangulares Desigualdades Triangulares ||x| - |y|| |x + y| |x| + |y|. Para cualquier par de números x e y, – |x| x |x|, – |y| y |y|. Sumando estas inecuaciones obtenemos – (|x| + |y|) x + y |x| + |y|. Lo cual implica: |x + y| |x| + |y|. La inecuación |x + y| |x| + |y| implica |a + b – b| |a + b| + |b| |a| – |b| |a + b|. Sea x = a + b e y = – b. Por tanto ||a| – |b|| |a + b| para cualquier pareja de valores a y b. Intercambiando las posiciones de a y b, obtenemos |b| – |a| |a + b|. Acabamos de demostrar lo siguiente: Números reales/El valor absoluto.

9 Propiedades del Valor Absoluto 7 ||a| - |b|| |a + b| |a| + |b|. Desigualdades triangulares Ejemplo Problema ¿Cuándo tenemos una igualdad en la estimación anterior? 1 |a| 0 2 |-a| = |a| 3 a 2 = |a| 2 4 |ab| = |a||b| 5 -|a| a |a| 6 |a| = |b| a = b 6 Sea b > 0. |a| > b a > b o a < -b. Demostración Aquí sumamos y restamos un mismo número w a |x – y|. De esta forma la expresión no varía. Números reales/El valor absoluto.

10 Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos Ejemplo 1 Solución Conclusión La ecuación tiene dos soluciones: x = 2 y x = -3. |2x + 1| = 5 Para los valores de x tales que 2x tenemos |2x + 1| = 5 2x + 1 = 5 2x = 4 x = 2. Si x = 2, 2x Así que x = 2 es una solución. Para los valores de x tales que 2x + 1 < 0 tenemos |2x + 1| = 5 -2x - 1 = 5 -2x = 6 x = -3. Si x = -3, 2x + 1 < 0. Así que x = -3 es una solución. Números reales/El valor absoluto.

11 Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos Ejemplo 2 Solución Conclusión |2x + 3| 5 Por la propiedad 6 de los valores absolutos: |2x + 3| 5 2x o 2x x x 2 x 1. 2x x -8 x -4. Por tanto la solución es x -4 y x 1. Números reales/El valor absoluto.

12 Gráficas de ecuaciones con Valores Absolutos Ejemplo 3 Solución La Gráfica de la Ecuación En el primer cuadrante: y = x y todo el tercer cuadrante. Dibuja la gráfica de x + |x| = y + |y|. Números reales/El valor absoluto.

13 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


Descargar ppt "El Valor Absoluto Valores Absolutos de Número Reales Distancia entre Números Reales Desigualdades triangulares Demostración de las desigualdades triangulares."

Presentaciones similares


Anuncios Google