Problemas Resueltos de la Regla del Sandwich

Presentación del tema: "Problemas Resueltos de la Regla del Sandwich"— Transcripción de la presentación:

1 Problemas Resueltos de la Regla del Sandwich
Usando la Regla del Sandwich Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

2 La Regla del Sandwich en Sucesiones
Teorema Si, para todo n, xn ≤ yn ≤ zn y las sucesiones xn y zn tienen el mismo límite L, entonces la sucesión yn converge y tiene el límite L. Demostración Gráfica Si (xn) y (zn) tienen el mismo límite L, entonces observando la figura podemos ver que también (yn) debe tener el límite L. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

3 Usando la Regla del Sandwich
En cada uno de los ejemplos siguientes, n es siempre un número entero. Ejemplo 1 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Aquí la notación x significa el mayor número entero que es ≤ x. Por ejemplo: 5 = 5, 2.9 = 2, 3.1 = 3. Para cualquier número x, x – 1 < x ≤ x. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

4 Usando la Regla del Sandwich
Ejemplo 1 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Solución Observamos que, por la definición de x, n2/3 – 1 < n2/3 ≤ n2/3 y n3/6 – 1 < n3/6 ≤ n3/6. Esta estimación es válida para n > 1. Por lo tanto: Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

5 Usando la Regla del Sandwich
Observación Si n > 1, ambas cotas son positivas en la estimación La cota superior para la obtuvimos sustituyendo el numerador por su cota más alta y el denominador por su cota más baja. Esto hace que el cociente sea mayor. La cota inferior se obtuvo de la misma forma. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

6 Usando la Regla del Sandwich
Ejemplo 1 ¿La sucesión converge? Solución (cont.) Para n > 1: Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

7 Usando la Regla del Sandwich
Ejemplo 1 ¿La sucesión converge? Solución (cont.) Para n > 1: Como lim 2 – 6/n2 = 2 y lim 2/(1-6/n3) = 2, concluimos, por la Regla del Sandwich, que la sucesión converge y que su límite es 2. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

8 Usando la Regla del Sandwich
Ejemplo 2 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Solución Se tiene que, por la definición de x Esto, sin embargo, no da ninguna información acerca de la existencia del límite en cuestión, ya que y Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

9 Usando la Regla del Sandwich
Ejemplo 2 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Solución (cont.) Observamos que, para n > 0, Por tanto, para todo n > 0, Esto implica que Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

10 Usando la Regla del Sandwich
Observación Para n > 0, Demostración Claramente para n > 0. Si no se verifica para algún n > 0, entonces Esto no se cumple para ningún n > 0. Por lo tanto, para n > 0, Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

11 Usando la Regla del Sandwich
Ejemplo 3 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Solución Se observa que, para todo n, –1 ≤ sin n ≤ 1 y –1 ≤ cos n ≤ 1. Por tanto, n2 – 1 ≤ n2 + cos n ≤ n2 + 1, y n2 – n ≤ n2 + n sin n ≤ n2 + n. Lo que lleva a que para n >1, Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

12 Usando la Regla del Sandwich
Solución (cont.) Tenemos, para n > 1, Como y concluimos, por la Regla del Sandwich, que Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

13 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä