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Problemas Resueltos de la Regla del Sandwich La Regla del Sandwich Usando la Regla del Sandwich Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

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1 Problemas Resueltos de la Regla del Sandwich La Regla del Sandwich Usando la Regla del Sandwich Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

2 La Regla del Sandwich en Sucesiones Si, para todo n, x n y n z n y las sucesiones x n y z n tienen el mismo límite L, entonces la sucesión y n converge y tiene el límite L. Teorema Demostración Gráfica Si (x n ) y (z n ) tienen el mismo límite L, entonces observando la figura podemos ver que también (y n ) debe tener el límite L. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

3 Usando la Regla del Sandwich Ejemplo 1 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Aquí la notación x significa el mayor número entero que es x. Por ejemplo: 5 = 5, 2.9 = 2, 3.1 = 3. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos. Para cualquier número x, x – 1 < x x. En cada uno de los ejemplos siguientes, n es siempre un número entero.

4 Usando la Regla del Sandwich Solución Observamos que, por la definición de x, n 2 /3 – 1 < n 2 /3 n 2 /3 y n 3 /6 – 1 < n 3 /6 n 3 /6. Por lo tanto: Esta estimación es válida para n > 1. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos. Ejemplo 1 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite.

5 Usando la Regla del Sandwich Observación Si n > 1, ambas cotas son positivas en la estimación Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos. La cota superior para la obtuvimos sustituyendo el numerador por su cota más alta y el denominador por su cota más baja. Esto hace que el cociente sea mayor. La cota inferior se obtuvo de la misma forma.

6 Usando la Regla del Sandwich Solución (cont.) ¿La sucesión converge? Para n > 1: Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos. Ejemplo 1

7 Usando la Regla del Sandwich Solución (cont.) ¿La sucesión converge? Para n > 1: Como lim 2 – 6/n 2 = 2 y lim 2/(1-6/n 3 ) = 2, concluimos, por la Regla del Sandwich, que la sucesión converge y que su límite es 2. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos. Ejemplo 1

8 Usando la Regla del Sandwich Ejemplo 2 Solución ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos. Se tiene que, por la definición de x Esto, sin embargo, no da ninguna información acerca de la existencia del límite en cuestión, ya que y

9 Usando la Regla del Sandwich Ejemplo 2 Solución (cont.) ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos. Por tanto, para todo n > 0, Observamos que, para n > 0, Esto implica que

10 Usando la Regla del Sandwich Observación Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos. Para n > 0, Demostración Claramente para n > 0. Si no se verifica para algún n > 0, entonces Esto no se cumple para ningún n > 0. Por lo tanto, para n > 0,

11 Usando la Regla del Sandwich Ejemplo 3 Solución ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos. Se observa que, para todo n, –1 sin n 1 y –1 cos n 1. Por tanto, n 2 – 1 n 2 + cos n n 2 + 1, y n 2 – n n 2 + n sin n n 2 + n. Lo que lleva a que para n >1,

12 Usando la Regla del Sandwich Solución (cont.) Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos. Tenemos, para n > 1, Como y concluimos, por la Regla del Sandwich, que

13 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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