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Aplicaciones de la Derivada Desigualdades entre funciones Estimación de funciones/

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Presentación del tema: "Aplicaciones de la Derivada Desigualdades entre funciones Estimación de funciones/"— Transcripción de la presentación:

1 Aplicaciones de la Derivada Desigualdades entre funciones Estimación de funciones/

2 Estimación de Funciones El Teorema del Valor medio implica que: Teorema Si f es derivable en un intervalo abierto y f(x) > 0 para todo x salvo para un numero finito de puntos, f es estrictamente creciente. Nos centraremos en el uso de este resultado para el estudio de funciones. Evidentemente sólo podemos aplicar este teorema a funciones definidas en un intervalo. Por ejemplo la función: f( x ) = tg x está definida para todo x nπ + π/2, y f( x ) = 1/cos 2 (x) > 0, para todo x perteneciente al dominio de la función f. Sin embargo la función no es creciente en todo su dominio. F(x)=tgx.

3 Estimación de funciones/ Estimación de Funciones(1) 1 Prueba Por tanto f( x ) f(0) = 0 para x 0, quedando demostrado el resultado Sea f la función f( x ) = x – sen( x ). La derivada de la función, f( x ) = 1 – cos( x ), es positiva excepto para x = n2π, donde la derivada vale 0. Por tanto la función es estrictamente creciente y = x y = sin x La siguiente desigualdad es consecuencia directa de la definición de la función seno. Lo probaremos mediante el teorema fundamental del cálculo

4 Estimación de funciones/ Estimación de Funciones(2) 2 Prueba

5 Estimación de funciones/ Estimación de Funciones (3) 3 Prueba Por último f( x ) f(0) = 0 para x 0. Esto prueba el enunciado. Demostrar que para x 0. Se considera la función Primero demostraremos que la función es creciente Derivando se tiene: Para x > 0, f( x ) > 0. Por tanto concluimos que f es estrictamente creciente para x 0.

6 Estimación de funciones/ Estimación de funciones (4) 4 La gráfica ilustra esta doble desigualdad. Una representación gráfica normalmente ayuda a obtener estimaciones de la función. Sin embargo no podemos basarnos únicamente en la grafica de la función para hacer estimaciones. Demostrar que para x 0. cos( x )

7 Estimación de funciones/ Estimación de funciones(5) 5 Prueba Demostrar que para x 0.Consideramos la función Probaremos que para x 0. Análogamente, la otra desigualdad se prueba del mismo modo. Derivando se obtiene: Como sen(x) x, f( x ) > 0 para x > 0. Por tanto f( x ) es creciente. Así, para x > 0, f( x ) > f(0) = 0. Esto significa que f es creciente. Como f es creciente, f( x ) > f(0) = 0 para x > 0. Así, f es creciente para x 0. Por tanto f( x ) > f(0)=0 para x > 0. Esto prueba el enunciado.

8 Estimación de funciones/ Evaluando Indeterminaciones Solución Ejemplo Conclusión Determinar Usamos que, que es válido para cualquier x. Por tanto,

9 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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