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Problemas Resueltos de Funciones Continuas Las funciones continuas e inyectivas deben ser monótonas.

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Presentación del tema: "Problemas Resueltos de Funciones Continuas Las funciones continuas e inyectivas deben ser monótonas."— Transcripción de la presentación:

1 Problemas Resueltos de Funciones Continuas Las funciones continuas e inyectivas deben ser monótonas.

2 Funciones Continuas e Inyectivas Problemas resueltos/Funciones Continuas/Propiedades. Problema 1 Esto significa que no es posible encontrar x 1, x 2 y x 3 tal que a f(x 3 ) o f(x 1 ) > f(x 2 ) y f(x 2 ) < f(x 3 ). x1x1 x2x2 x3x3 x1x1 x2x2 x3x3 Solución Tendremos que probar que f creciente o decreciente. Es decir que no puede ser creciente en algunas partes del intervalo [a,b] y decreciente en otras partes del mismo. En la figura de la izquierda la función es primero creciente y después decreciente. En la de la derecha es al contrario. Sea f:[a,b] [c,d] una función continua e inyectiva (uno a uno). Probar que f es monótona.

3 Funciones Continuas e Inyectivas Problemas resueltos/Funciones Continuas/Propiedades. Problema 1 Supongamos que se pueden encontrar x 1, x 2 y x 3 tal que a < x 1 < x 2 < x 3 < b y f(x 1 ) < f(x 2 ) y f(x 2 ) > f(x 3 ) o f(x 1 ) > f(x 2 ) y f(x 2 ) < f(x 3 ). Solución x1x1 x2x2 x3x3 Entonces, por el Teorema de los Valores Intermedios, la función f toma todos los valores entre max(f(x 1 ), f(x 3 )) y f(x 2 ) al menos dos veces: una vez en el intervalo [x 1, x 2 ] y una vez en el intervalo [x 2, x 3 ]. Por tanto f no es uno a uno lo que contradice la hipótesis. En el segundo caso, cuando f es primero decreciente y luego creciente, llegamos a la misma contradicción. Por tanto f debe ser estrictamente monótona en el intervalo [a,b]. Sea f:[a,b] [c,d] una función continua e inyectiva (uno a uno). Probar que f es monótona.

4 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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