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Index FAQ Límites de Sucesiones de Números Reales Sucesiones de Números Reales Límites por definición Regla de Sandwich Uso de la Regla de Sandwich Sucesiones.

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1 Index FAQ Límites de Sucesiones de Números Reales Sucesiones de Números Reales Límites por definición Regla de Sandwich Uso de la Regla de Sandwich Sucesiones Monótonas Sucesiones. Recopilación teoría

2 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Sucesiones Numéricas Definición Ejemplos 1 2 3

3 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Límites de Sucesiones Definición Ejemplos Notación Si una sucesión tiene límite finito, decimos que la sucesión es convergente o que converge. En caso contrario la sucesión diverge o es divergente. La sucesión (1,-2,3,-4,…) diverge.

4 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Cálculo de Límites de Sucesiones (1) Ejemplos 1 2

5 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Cálculo de Límite de Sucesiones Ejemplos continuación 3

6 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Cálculo de Límites con Maple Comandos de Maple Limit y limit Llamada a la Sucesión Limit(f,x=a,dir) y limit(f,x=a,dir) Este comando calcula el límite de la expresión f cuando la variable x se aproxima al valor a. La opción dir puede ser usada para elegir la dirección por la que la variable x se aproxima al valor a. Cuando calculamos el límite de una sucesión, f es el término general de la sucesión y la variable x toma sólo valores enteros positivos y se aproxima a infinito.

7 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Definición Formal de Límite de Sucesiones Definición Ejemplo

8 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Límite de Sumas Teorema Demostración Por la Desigualdad Triangular

9 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Límite de Productos El mismo razonamiento que para las sumas puede utilizarse para demostrar la siguiente propiedad. Teorema Observación Ejemplo

10 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Regla de Sandwich para Sucesiones Teorema Demostración

11 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Uso de la Regla de Sandwich Ejemplo Solución Esto es difícil de calcular usando los métodos estandar porque n! está definido sólo si n es un número natural. Así los términos de la sucesión en cuestión no vienen dados por una función elemental a la cual podamos aplicar técnicas como la regla de LHopital. Aquí cada término k/n < 1.

12 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Uso de la Regla de Sandwich Problema Solución

13 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Sucesiones Monótonas Definición Una sucesión (a 1,a 2,a 3,…) es decreciente si a n+1 a n para todo n. Una sucesión (a 1,a 2,a 3,…) es creciente si a n a n+1 para todo n. Una sucesión (a 1,a 2,a 3,…) es monótona si es o bien creciente o decreciente. Teorema Una sucesión (a 1,a 2,a 3,…) está acotada si existen dos números M y m tales que m a n M para todo n. Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Observesé que es suficiente con demostrar el teorema para las sucesiones crecientes (a n ), ya que si (a n ) es decreciente, entonces se considera la sucesión creciente (-a n ).

14 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Demostración Sea (a 1,a 2,a 3,…) una sucesión creciente acotada. Entonces el conjunto {a 1,a 2,a 3,…} está acotado superiormente Por el hecho de que el conjunto de números reales es completo, s=sup {a 1,a 2,a 3,…} es finito. Afirmación

15 Index FAQ Sucesiones. Recopilación teoría Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Demostración Sea (a 1,a 2,a 3,…) una sucesión creciente acotada. Sea s=sup {a 1,a 2,a 3,…}. Afirmación Demostración de la afirmación

16 Index FAQ Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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