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Funciones Compuestas e Inversas Funciones Compuestas Funciones Inversas Inversas de Funciones Exponenciales Inversas de Funciones Trigonométricas Funciones/Operaciones.

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1 Funciones Compuestas e Inversas Funciones Compuestas Funciones Inversas Inversas de Funciones Exponenciales Inversas de Funciones Trigonométricas Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas

2 Funciones Compuestas (1) Definición Observe que la función compuesta f o g puede ser definida por la fórmula de arriba siempre que el rango de la función g esté contenido en el dominio de la función f. Ejemplo Eje xEje y Eje w Hay muchos modos de representar lo de arriba como una función compuesta. Nunca es única, depende del cálculo que quiera llevarse a cabo.

3 Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Funciones Compuestas (2) Observaciones Supón que las funciones f y g son funciones para las que está definida la función compuesta h = f o g. 1.Si ambas son crecientes, entonces h también es creciente. 2.Si f es creciente y g decreciente, entonces h es decreciente. 3.Si f es decreciente y g creciente, entonces h es decreciente. 4.Si ambas son decrecientes, entonces h es creciente.

4 Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Funciones Inversas Si una función f: A B es inyectiva, se puede calcular x en función de y = f(x) suponiendo que y está en el rango de f. Esto define la función inversa de f. Definición Notación Atención Aquí el -1 está aplicado a la función f en vez de a los valores de la función.

5 Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Encontrar Funciones Inversas Para encontrar la función inversa de una dada f: A B se puede resolver x en función de y en la ecuación y = f(x). Si se puede resolver y la solución es única, la función f tiene inversa, y la solución define dicha función inversa. Ejemplo f f -1 y=xy=x

6 Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas El Logaritmo Sea a > 0. Sabemos que la función exponencial a x es creciente si a > 1 y decreciente si a < 1. En ambos casos la función a x es inyectiva. Por lo tanto la función exponencial tiene inversa. Definición Notación Definición Notación

7 Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Propiedades del Logaritmo Prueba La fórmula 1 y 2 sale de las propiedades de la función exponencial.

8 Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas y=sen(x) La Función Inversa del Seno La función seno no es inyectiva ya que hay rectas horizontales que cortan a la función infinitas veces. Por lo tanto no se puede resolver x en función de y unicamente de la ecuación y=sen(x). De hecho, no hay soluciones si y > 1 o y < -1. Si -1 y 1, hay infinitas soluciones. La solución se vuelve única, si hacemos que esté entre -/2 y /2. Esto es equivalen a restingir el dominio de la función seno al intervalo [-/2, /2]. Definición y=sen(x) y=arcsen(x)

9 Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Función Inversa del Coseno y la Tangente Definición arccos(x) cos(x) tan(x) arctan(x)

10 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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