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Resolución aproximada de ecuaciones Ejemplos

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Presentación del tema: "Resolución aproximada de ecuaciones Ejemplos"— Transcripción de la presentación:

1 Resolución aproximada de ecuaciones Ejemplos
Metodo de Newton Resolución aproximada de ecuaciones Ejemplos Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

2 Método de Newton (gráficamente)
x0 El método de Newton para hallar soluciones aproximadas de la ecuación f(x) = 0 comienza con un valor inicial x0 para la solución. El valor inicial se mejora hallando la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (x0,f(x0)), y reemplazando x0 por x1, que es la intersección de la recta tangente y el eje x. f x1 x0 Se repite el proceso para encontrar una aproximación mejor de la solución. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

3 Resolviendo ecuaciones
El método de Newton es un método numérico para aproximar soluciones de la ecuación f(x) = 0, cuando f es una función derivable. f x0 La idea del método de Newton es empezar con una aproximación de la raíz que se quiere hallar y mejorar la aproximación inicial por medio de una construcción geométrica. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

4 Escogiendo el valor inicial
f x1 x0 En la situación de la figura de la derecha, la iteración de Newton, de x0 a x1, parece que mejora mucho la aproximación de la solución de la ecuación f(x) = 0. El proceso es sensible a la elección del valor inicial x0. Con una elección ligeramente distinta, como se muestra en la figura de la izquierda podemos llegar a una situación peor. La primera aproximación, que sustituye por x1 x0 sigue siendo una mejora. f x0 x1 Sin embargo, repitiendo el proceso puede llevarnos de nuevo a x0 o a una aproximación mucho peor de la solución. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

5 El método de Newton (analíticamente)
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) es y = f’(x0)(x – x0) + f(x0). f x1 x0 Suponiendo que f’(x0)  0, el punto de intersección de la recta tangente y el eje x es Concluimos que la fórmula general del método de Newton es La iteración puede efectuarse suponiendo que f’(xk )  0 para todo k. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

6 El método de Newton (analíticamente)
La fórmula general de iteración es f xn+1 xn Si consideramos la función El método de Newton se define en términos de la función F: xn+1 = F(xn ). Observemos que x = F(x)  x = x – f(x)/f’(x)  0 = –f(x)/f’(x)  f(x) = 0. Definición Un punto x es un punto fijo de la función F si F(x) = x. Conclusión Suponiendo que f’(x)  0 para todo x, los puntos fijos de F son las soluciones de la ecuación f(x) = 0. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

7 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Hallando puntos fijos Sea x0 un punto dado , y F una función continua. Supongamos que el límite existe. Aquí se usa que la función F es continua. Entonces Es decir, x es un punto fijo de la función F. Conclusión Los puntos fijos F son puntos límite del método de Newton. Advertencia La función F puede tener varios puntos fijos. Al variar el punto inicial x0 se pueden hallar nuevos puntos fijos. Pero no se garantiza que se pueda hallar todos los puntos fijos por este procedimiento. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

8 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
El método de Newton Una función derivable f, un valor inicial x0, y un número positivo . El número  determina la precisión del cálculo. Entrada Iteración Sea Sea x1 = F(x0) e iterativamente xn+1 = F(xn). Parada Cuando |xn+1 – xn| < . Los ejemplos siguientes muestran que el método de Newton no siempre converge. Así que ser cuidadosos al usar esta iteración. Se pueden aproximar soluciones falsas de la ecuación f (x) = 0. Habrá que hacer un trabajo adicional, como la aplicación del teorema de los valores intermedios para funciones continuas, para asegurarse de que se ha encontrado una aproximación de una solución. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

9 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Ejemplos (1) Example 1 Solution Sea x0=2 y se define iterativamente xi+1=F(xi). Se tiene : x0 = x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = Todos los números mostrados en la aproxiamación x5 = son correctos. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

10 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Ejemplos (2) Ejemplo 2 Aproximar la solución de la ecuación x3 – 2x + 2 = 0 usando el método de Newton. Solución Comenzamos con x0 = 0 y definimos iterativamente xn+1=F(xn). 1 Esto proporciona las siguientes aproximaciones: x0 = 0, x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, …. La iteración no converge! La figura muestra la iteración gráficamente. La tangente (en rojo) en el punto (0,f(0)) interseca al eje x en x=1. La tangente (en azul) en el punto (1,f(1)) interseca al eje x en x=0. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

11 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Ejemplos (3) Ejemplo 2 Aproximar la solución de la ecuación x3 – 2x + 2 = 0 usando el método de Newton. Solución (continuación) -2 Representando la función vemos que sólo tiene una solución , que es aproximadamente Comenzamos el método de Newton con el valor inicial x0 = -2. Se tiene x0 = x1 = x2 = x3 = x4 = En la aproximación x4 todos los dígitos son correctos No hay otras soluciones. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

12 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton
Ejemplos (4) Ejemplo 3 La ecuación tiene una única solución x = 0. ¿Se puede hallar por el método de Newton? Solución Se tiene Sea x0 un valor inicial. El método de Newton proporciona la sucesión x1 = -4x0 x2 = -4x1 = (-4)2x0 x3 = -4x2 = (-4)2x1 = (-4)3 x0 xn = (-4)n x0 para todo n = 1,2,3,… Conclusión El método de Newton no proporciona una aproximación de la solución de la ecuación a menos que el valor inicial sea ya la solución x=0. Si x0  0, la sucesión no converge. Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

13 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä


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