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Metodo de Newton Resolución aproximada de ecuaciones Ejemplos Aplicaciones de la derivada/Método de Newton.

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Presentación del tema: "Metodo de Newton Resolución aproximada de ecuaciones Ejemplos Aplicaciones de la derivada/Método de Newton."— Transcripción de la presentación:

1 Metodo de Newton Resolución aproximada de ecuaciones Ejemplos Aplicaciones de la derivada/Método de Newton

2 Método de Newton (gráficamente) El método de Newton para hallar soluciones aproximadas de la ecuación f(x) = 0 comienza con un valor inicial x 0 para la solución. El valor inicial se mejora hallando la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (x 0,f(x 0 )), y reemplazando x 0 por x 1, que es la intersección de la recta tangente y el eje x. Se repite el proceso para encontrar una aproximación mejor de la solución. f x1x1 x0x0 f x0x0

3 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton Resolviendo ecuaciones El método de Newton es un método numérico para aproximar soluciones de la ecuación f(x) = 0, cuando f es una función derivable. La idea del método de Newton es empezar con una aproximación de la raíz que se quiere hallar y mejorar la aproximación inicial por medio de una construcción geométrica. f x0x0

4 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton Escogiendo el valor inicial En la situación de la figura de la derecha, la iteración de Newton, de x 0 a x 1, parece que mejora mucho la aproximación de la solución de la ecuación f(x) = 0. El proceso es sensible a la elección del valor inicial x 0. Con una elección ligeramente distinta, como se muestra en la figura de la izquierda podemos llegar a una situación peor. La primera aproximación, que sustituye por x1 x0 sigue siendo una mejora. f x1x1 x0x0 f x0x0 x1x1 Sin embargo, repitiendo el proceso puede llevarnos de nuevo a x 0 o a una aproximación mucho peor de la solución.

5 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton El método de Newton (analíticamente) f x1x1 x0x0 La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x 0, f(x 0 )) es y = f(x 0 )(x – x 0 ) + f(x 0 ). Suponiendo que f(x 0 ) 0, el punto de intersección de la recta tangente y el eje x es Concluimos que la fórmula general del método de Newton es La iteración puede efectuarse suponiendo que f(x k ) 0 para todo k.

6 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton f x n+1 xnxn La fórmula general de iteración es Si consideramos la función El método de Newton se define en términos de la función F: x n+1 = F(x n ). Observemos que x = F(x) x = x – f(x)/f(x) 0 = –f(x)/f(x) f(x) = 0. Definición Un punto x es un punto fijo de la función F si F(x) = x. Conclusión Suponiendo que f(x) 0 para todo x, los puntos fijos de F son las soluciones de la ecuación f(x) = 0. El método de Newton (analíticamente)

7 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton Hallando puntos fijos Sea x 0 un punto dado, y F una función continua. Supongamos que el límite existe. Entonces Es decir, x es un punto fijo de la función F. Aquí se usa que la función F es continua. La función F puede tener varios puntos fijos. Al variar el punto inicial x 0 se pueden hallar nuevos puntos fijos. Pero no se garantiza que se pueda hallar todos los puntos fijos por este procedimiento. Advertencia Conclusión Los puntos fijos F son puntos límite del método de Newton.

8 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton Parada Los ejemplos siguientes muestran que el método de Newton no siempre converge. Así que ser cuidadosos al usar esta iteración. Se pueden aproximar soluciones falsas de la ecuación f (x) = 0. Habrá que hacer un trabajo adicional, como la aplicación del teorema de los valores intermedios para funciones continuas, para asegurarse de que se ha encontrado una aproximación de una solución. Una función derivable f, un valor inicial x 0, y un número positivo. El número determina la precisión del cálculo. Sea Sea x 1 = F(x 0 ) e iterativamente x n+1 = F(x n ). Cuando |x n+1 – x n | <. Entrada Iteración El método de Newton

9 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton Ejemplos (1) Example 1 Solution Sea x 0 =2 y se define iterativamente x i+1 =F(x i ). Se tiene : x 0 = 2 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = Todos los números mostrados en la aproxiamación x 5 = son correctos.

10 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton Ejemplos (2) Ejemplo 2 Solución Comenzamos con x 0 = 0 y definimos iterativamente x n+1 =F(x n ). La figura muestra la iteración gráficamente. La tangente (en rojo) en el punto (0,f(0)) interseca al eje x en x=1. La tangente (en azul) en el punto (1,f(1)) interseca al eje x en x=0. 1 Aproximar la solución de la ecuación x 3 – 2x + 2 = 0 usando el método de Newton. Esto proporciona las siguientes aproximaciones: x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 1, …. La iteración no converge!

11 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton Ejemplos (3) Ejemplo 2 Representando la función vemos que sólo tiene una solución, que es aproximadamente Comenzamos el método de Newton con el valor inicial x 0 = -2. Se tiene x 0 = -2 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = En la aproximación x 4 todos los dígitos son correctos No hay otras soluciones. Solución (continuación) -2 Aproximar la solución de la ecuación x 3 – 2x + 2 = 0 usando el método de Newton.

12 Aplicaciones de la derivada/Método de Newton Ejemplos (4) Ejemplo 3 Solución La ecuación tiene una única solución x = 0. ¿Se puede hallar por el método de Newton? Sea x 0 un valor inicial. El método de Newton proporciona la sucesión x 1 = -4x 0 x 2 = -4x 1 = (-4) 2 x 0 x 3 = -4x 2 = (-4) 2 x 1 = (-4) 3 x 0 … x n = (-4) n x 0 para todo n = 1,2,3,… Se tiene Conclusión El método de Newton no proporciona una aproximación de la solución de la ecuación a menos que el valor inicial sea ya la solución x=0. Si x 0 0, la sucesión no converge.

13 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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