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Sucesiones Monótonas. The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Definición Una sucesión.

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1 Sucesiones Monótonas

2 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Definición Una sucesión (a 1,a 2,a 3,…) es decreciente si a n+1 a n para todo n. Una sucesión (a 1,a 2,a 3,…) es creciente si a n a n+1 para todo n.

3 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Ejemplo En este caso y

4 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Ejemplo

5 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Ejemplo para todo n. es creciente Concluimos que la sucesión

6 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Una sucesión (a 1,a 2,a 3,…) es monótona si es o creciente o decreciente. Una sucesión (a 1,a 2,a 3,…) está acotada si existen dos números M y m tales que m a n M para todo n. Definición

7 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).

8 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Se observa que es suficiente demostrar el teorema para sucesiones crecientes (a n ), ya que si (a n ) es decreciente, basta con considerar la sucesión creciente (-a n ).

9 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Demostración Sea (a 1,a 2,a 3,…) una sucesión creciente acotada. a1a1 a2a2 … … anan a n+1

10 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Demostración a1a1 a2a2 … … anan a n+1 Como el conjunto de los números reales es completo, entonces s = sup {a 1,a 2,a 3,…} es finito.

11 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Afirmación Demostración de la afirmación Sea ε > 0. Hay que encontrar un número n ε tal que n > n ε |a n – s| < ε.

12 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Sea ε > 0. Afirmación a1a1 a2a2 … … anan a n+1 ε Si n>n ε, a n debe estar aquí. Debemos encontrar n ε como se muestra en la figura. Demostración de la afirmación

13 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesión Monótona Demostración de la afirmación Afirmación ε a1a1 a2a2 … … anan a n+1 Como s = sup{a n } y como ε > 0, existe un número n ε tal que

14 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesión Monótona Demostración de la afirmación Afirmación ε a1a1 a2a2 … … anan a n+1 Como (a n ) es creciente se tiene que para n > n ε, Entonces |a n - s| n ε.

15 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).

16 The Real Number System/Sequences of Real Numbers/Monotonic Sequences by Mika Seppälä Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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