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Extremos de Funciones Extremos Absolutos y Relativos Ejemplos Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones.

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Presentación del tema: "Extremos de Funciones Extremos Absolutos y Relativos Ejemplos Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones."— Transcripción de la presentación:

1 Extremos de Funciones Extremos Absolutos y Relativos Ejemplos Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

2 Etremos Relativos de Funciones En un máximo relativo, la derivada de la función f debe ser positiva para x < x 1 (cerca del punto x 1 ). Asimismo, la derivada de f es negativa para x > x 1. x1x1 x2x2 Hemos visto anteriormente que si el punto x k es un extremo relativo de una función derivable f, entonces f(x k )=0. Por lo tanto, en un máximo relativo, la derivada de una función f, si es derivable, cambia de signo (de positiva a negativa). Esto también implica que la segunda derivada de la función f es negativa en un máximo relativo. Esto proporciona un criterio para encontrar máximos relativos. Son puntos donde la primera derivada es nula y la segunda derivada es negativa.

3 Criterio para Extremos relativos x1x1 x2x2 Un punto x 1 es un máximo relativo de una función derivable f si f(x 1 )=0 y si f cambia de signo de positivo a negativo en x 1. Si f existe, entonces f(x 1 ) < 0. Máximos relativos Mínimos relativos Un punto x 2 es un mínimo relativo de una función derivable f si f(x 2 )=0 y si f cambia de signo, de negativa a positiva en un entorno de x 2.. Si f existe, entonces f(x 2 ) > 0. Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

4 Ejemplo Ejercicio Hallar los extremos relativos de la función f(x) = 3x 5 - 5x 3. Solución Derivando, f(x) = 15x 4 – 15x 2 = 15x 2 (x 2 -1) = 15x 2 (x – 1)(x + 1). x2x2 x-1 x+1 f(x)=15 x 2 (x-1)(x+1) f(x) La derivada f se anula en x = -1, 0 y 1. Para entender el comportamiento de f es muy útil factorizar f y hacer un diagrama de signos, para ver donde f cambia de signo y además de cuál a cuál a cambiado. Del diagrama de arriba se obtiene que el punto -1 es una máximo relativo, y que el punto 1 es un mínimo relativo. La derivada se anula también en 0, pero éste no es un extremo relativo. Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

5 Ejemplo Problema Hallar los extremos relativos de la función f(x) = 3x 5 - 5x 3. Solución Derivando, f(x) = 15x 4 – 15x 2 = 15x 2 (x 2 -1) = 15x 2 (x – 1)(x + 1). La derivada f se anula en x = -1, 0 y 1. Derivando otra vez tenemos, f(x) = 60x 3 -30x. En el punto x = 0, tanto f como f se anulan. Este punto no es ni máximo ni mínimo. f(-1) = -30 < 0, por lo tanto x = -1 es un máximo relativo. f(1) = 30>0, por lo tanto x = es un mínimo relativo. Max relativo Mínimo relativo Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

6 Pasos para hallar Extremos Absolutos de Funciones Dada f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Para hallar los extremos de f en el intervalo [a,b], seguimos los siguientes pasos: 1.Hallamos la derivada de f. 2.Hallamos los valores que anulan a la derivada en (a,b). 3.Comparamos signos de la derivada f a ambos lados de dichos valores, asi como en a y b. 4.Teniendo en cuenta estos valores, cogemos el mayor y el menor. Estos son los extremos absolutos de f. Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

7 Extremos Absolutos Ejemplo Hallar los extremos absolutos de f(x) = x 3 – 2x + 2 en el intervalo [0,2]. Solución La función es derivable para todo x. Por lo tanto la función tomará un valor máximo y mínimo en [0,2] ya sea en los puntos que anulan la derivada o en los límites del intervalo. Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

8 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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