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Problemas Teóricos Resueltos Sobre Límites de Funciones Problemas teóricos de límites resueltos.

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Presentación del tema: "Problemas Teóricos Resueltos Sobre Límites de Funciones Problemas teóricos de límites resueltos."— Transcripción de la presentación:

1 Problemas Teóricos Resueltos Sobre Límites de Funciones Problemas teóricos de límites resueltos.

2 Funciones Positivas 1 Prueba La función f satisface f(x) 0 para x tal que 0 < |x – x 0 | < c para un número positivo c. Suponer que existe. Demostrar que a 0. Suponer lo contrario es decir que Por la definición del límite existe δ > 0 tal que 0 < |x-x 0 | < δ |f(x) – a| < |a| = ε. Pero esto es imposible, ya que implicaría que: 0 < |x-x 0 | < δ f(x) < 0, que es contrario a la hipótesis del enunciado.

3 Problemas teóricos de límites resueltos. Una Función Especial 2 Afirmación Se define la función f como Suponemos que p y q son primos entre sí, es decir no tienen más factores comunes que el 1. Para todo x 0 : Esta es una función interesante que emplearemos más adelante en ejemplos. La afirmación sale de que cuando un número racional que se aproxima a otro, el denominador crece indefinidamente. Ésta es la base de la prueba.

4 Problemas teóricos de límites resueltos. Una Función Especial 2 Afirmación Para todo x 0 : Prueba Sea ε > 0 arbitrario. Tenemos que demostrar que cerca del punto dado x 0, los valores de la función f están próximos a 0. Sea m un entero positivo tal que. Consideramos el conjunto Es un conjunto finito de puntos. Como, por definición, x 0 L, δ = min{|x 0 x|| x L } = distancia de x 0 a L es > 0. Para este número δ : 0 < |x – x 0 | < δ |f(x) – 0| < 1/m < ε. Por tanto Más detalles de por qué esto es cierto a continuación.

5 Problemas teóricos de límites resueltos. Una Función Especial 2 Como x 0 L, δ = min{|x 0 x|| x L } > 0. Si un número racional x = p/q satisface 0 < |x – x 0 | < δ, entonces p/q L. Comentario De la definición del conjunto L Se obtiene que el conjunto L tiene menos de 4m 2 elementos. Esto significa que q > m. Por tanto |f(p/q)| = 1/q < 1/m < ε. Si x es irracional, entonces f(x) = 0, y por tanto también |f(x)| = 0 < ε. Sea m un entero positivo tal que. Estos comentarios justifican la implicación de lo de la página anterior probando que para cualquier número x 0,

6 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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