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Límites de Funciones Definición de Límites Propiedades de Límites Prueba de las Principales Propiedades La Regla del Sandwich Límites Laterales Límite.

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1 Límites de Funciones Definición de Límites Propiedades de Límites Prueba de las Principales Propiedades La Regla del Sandwich Límites Laterales Límite de funciones.

2 Límites de Funciones Definición Ejemplo Notación Una función f tiene límite L en un punto x 0 si los valores f(x) se aproximan a L cuando x tiende a x 0 sin llegar a serlo. Observar que el valor de f en x 0 no afecta al valor del límite (si existe). El límite puede existir incluso si la función no está definida en x = x 0. La función tiene límite 0 cuando x 0 a pesar de que f(0) = 1.

3 Límite de funciones. Definición de Límites Definición Ejemplo Afirmación Prueba Así se acaba la demostración ya que para todo número positivo ε podemos encontrar un número positivo δ que satisfaga la condición de la definición. Una función f tiene límite L en el punto x 0 si Sea ε > 0. si

4 Límite de funciones. Límites Positivos Teorema Prueba Suponer que Entonces existe un número positivo δ tal que 0 0. En la definición de límite, hagamos ε = a > 0. Esto implica que: f(x) > 0 si 0 < |x – x 0 |< δ. Entonces, como hay un número positivo δ tal que 0 < |x – x 0 | < δ | f(x) – a| < a = ε. a=ε δ x0x0 La figura ilustra este teorema. Observar que f(x 0 ) puede ser negativo incluso si el límite de f en x 0 es positivo.

5 Límite de funciones. Propiedades de Límites La Regla del Sandwich Si, entonces existe y Supongamos que cerca de x 0, pero no necesariamente en x 0, se verifica f(x) h(x) g(x). 5

6 Límite de funciones. Prueba de las Propiedades de Límites 1 Prueba Sea ε > 0. Como, hay un número positivo δ 1 tal que Como, hay un número positivo δ 2 tal que Sea δ = min( δ 1, δ 2 ). Por tanto si |x – x 0 | < δ. Por la Desigualdad Triangular

7 Límite de funciones. Prueba de las Propiedades de Límites 3 Prueba Sea ε > 0. Como, y como, Existen los números positivos δ 1 y δ 2 tal que Sea δ = min( δ 1, δ 2 ). Lo haremos para el caso ab 0. La prueba en otros casos es más fácil y puede hacerse modificando ligeramente el razonamiento. En la próxima diapositiva demostraremos que el número positivo δ tiene la propiedad deseada. Podemos encontrar los números δ 1 y δ 2 por la definición del límite ya que lo que está a la derecha es positivo.

8 Límite de funciones. Prueba de las Propiedades de Límites 3 Prueba (cont.) Por tanto si |x – x 0 | < δ. Supongamos |x – x 0 | < δ. Por las consideraciones anteriores, Obtenemos: Aquí simplemente sumamos y restamos f(x)b. La expresión no cambia. Usamos la Desigualdad Triangular Observar que esto implica |f(x)|<2|a|. Usamos esto más abajo.

9 Límite de funciones. Prueba de la Regla del Sandwich 5La Regla del Sandwich Prueba Sea ε > 0.Como, hay un número positivo δ 1 tal que Si, entonces existe y Como, hay un número positivo δ 2 tal que Supongamos que cerca del número x 0, pero no necesariamente en el punto x 0, se tiene que f(x) h(x) g(x). La suposición sobre las funcionesf, g, y h significa que hay un número c > 0 tal que f(x) h(x) g(x) para 0 < |x 0 – x| < c. Sea δ = min(c, δ 1, δ 2 ). Lo de arriba implica: a f(x) ε ε g(x) h(x)

10 Límite de funciones. La Regla del Sandwich Gráficamente La Regla del Sandwich h f g En la Regla del Sandwich, los valores de la función h cerca del punto x 0 están acotados entre los valores de las funciones f y g. Si estas funciones tienen el mismo límite en x 0, entonces la función h debe tener ese límite también. Supongamos que cerca del puntox 0 (pero no necesariamente en x 0 ) las funciones f, g, y h satisfacen f(x) g(x) h(x). Si,entonces existe y.

11 Límite de funciones. Cómo Calcular Límites (1) Métodos para calcular límites: 1.Si la función f está definida por una expresión que tiene un valor finito en el límite, entonces este valor finito es el límite. 2.Si la función f está definida por expresión cuyo valor es indeterminado en el límite, entonces se debe reescribir la expresión de una manera más sencilla o emplear la Regla de Sandwich. Ejemplos 12

12 Límite de funciones. Cómo Calcular Límites (2) Ejemplo en que reescribimos la expresión 1 Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador para librarse de las raíces del denominador.

13 Límite de funciones. Cómo Calcular Límites (3) Aplicación de la Regla de Sandwich 1 Recordar que, para todo α, -1 sen (α) 1. Por tanto para todo x 0. Como, podemos usar la Regla del Sandwich y concluir que: Observar que los valores de la expresión x sen(1/x) son indeterminados para x = 0. El límite existe, sin embargo, y es 0.

14 Límite de funciones. Sin Límite Ejemplo La función f no tiene límite en x=0 ya que cerca de x=0 la función toma valores entre -1 y 1. Sea

15 Límite de funciones. Límites Laterales (1) Definición Notación Definición Notación Una función f tiene el límite por la derecha L cuando x tiende a x 0 si los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a x 0 mientras que x > x 0. Una función f tiene el límite por la izquierda L cuando x tiende a x 0 si los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a x 0 mientras que x < x 0.

16 Límite de funciones. Límites Laterales (2) Ejemplo La función f tiene límites laterales en x=0 pero no tiene límite en x=0. Por tanto, la definición de la función f implica que y. Sea Por las propiedades del valor absoluto, se puede reecribir la función f como:

17 Límite de funciones. Definición Formal de Límites Laterales Definición Conclusión El resultado es consecuencia inmediata de las definiciones. Una función f tiene límite por la izquierda L cuando x tiende a x 0 si: ε > 0: existe δ > 0 tal que 0 < x 0 – x < δ |f(x) – L| < ε. Una función f tiene límite por la derecha L cuando x tiende a x 0 si: ε > 0: existe δ > 0 tal que 0 < x- x 0 < δ |f(x) – L| < ε. Notación

18 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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