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Cálculo de Áreas Áreas de regiones comprendidas entre la gráfica de una función y el eje X. Área encerrada entre dos curvas. Integración respecto a la.

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1 Cálculo de Áreas Áreas de regiones comprendidas entre la gráfica de una función y el eje X. Área encerrada entre dos curvas. Integración respecto a la variable y. Área de un círculo de radio r. Integración/Primeras aplicaciones/Áreas

2 Área encerrada por una gráfica y el eje X La figura de la derecha muestra la aproximación (escogiendo el punto medio) del área encerrada por la función f y el eje X. La Suma de Riemann correspondiente será la suma de las áreas de todos los rectángulos de la figura. La integral es el área de: la región comprendida entre la función f, y el eje x en el intervalo [a,b]. Ejemplo El área de la región representada en amarillo, es decir la comprendida entre la gráfica del seno, y el eje X en el intervalo [0, π ] será: Integración/Primeras aplicaciones/Áreas

3 Funciones que toman valores positivos y negativos. La fórmula para el cálculo del área solo es válida si la función es positiva en el intervalo [a,b]. Si la función f toma valores negativos, el área encerrada entre la gráfica y el eje x en el intervalo [a,b], se calculará por medio de la integral: El área de las regiones comprendidas entre las funciones f(x) y el eje x, y |f(x)| y el eje x son las mismas. Ejemplo El área encerrada entre la gráfica del seno y el eje x en el intervalo [0,2 π ] será: En esta parte, con la fórmula anterior, nos daría una zona de área negativa.

4 Área encerrada entre dos curvas El área encerrada por las gráficas de las funciones f(x) y g(x) en a x b viene dada por la integral: Ejemplo El área de la región comprendida entre las gráficas del seno y del coseno en π /4 x 5 π /4 será Nota: sen(x) cos(x) si π /4 x 5 π /4. Integración/Primeras aplicaciones/Áreas

5 Áreas Integración respecto a la variable y Ejemplo Hallar el área comprendida entre el eje X y las gráficas de las funciones y = x-2 y. Nota: Se trata de una simplificación técnica para ver estas funciones como funciones de y en lugar de x. Entonces las ecuaciones de las funciones serán x = y + 2 y x = y 2. El área en cuestión es ahora el área entre las gráficas de estas funciones de y para 0 y 2. El área es por lo tanto, Integrando respecto a y en vez de x es posible calcular el área a través de una integral y no de dos.

6 Área de un círculo de radio r. –r–rrLa ecuación de una circunferencia de radio r es: x 2 + y 2 = r 2. Por tanto el área encerrada por la función: para –r x r será la del semicírculo superior de la figura. El área del semicírculo será por tanto: Con el cambio de variable: x = ru, dx = rdu: Integración/Primeras aplicaciones/Áreas

7 Área de un círculo de radio r (2) Integración/Primeras aplicaciones/Áreas –r–rr El área del semicírculo de radio r será por tanto: Como la función del integrando es par: Con el cambio de Variable: u =sen(v) se obtiene: Respuesta El Área de un círculo de radio r será:

8 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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