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No todos los números son Racionales. La raíz cuadrada de 2 no es racional. Pitágoras de Samos (murió entre 490-500 a.C.) pensaba que todos los números.

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Presentación del tema: "No todos los números son Racionales. La raíz cuadrada de 2 no es racional. Pitágoras de Samos (murió entre 490-500 a.C.) pensaba que todos los números."— Transcripción de la presentación:

1 No todos los números son Racionales

2 La raíz cuadrada de 2 no es racional. Pitágoras de Samos (murió entre a.C.) pensaba que todos los números eran racionales.

3 Hipaso de Metaponto, un estudiante de Pitágoras, demostró, en el siglo V a.C que la raíz cuadrada de dos no es un número racional. 1 1 La raíz cuadrada de 2 no es racional.

4 Número Enteros, números Racionales y números Reales. Notación: Enteros Números Naturales Números Racionales p y q no tienen factor común. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

5 Número Enteros, números Racionales y números Reales. Teorema: No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

6 Números Enteros, números Racionales y números Reales. Notación: Ampliando el conjunto de números racionales con los números irracionales, la ecuación r 2 = 2 tiene soluciones. Desde un punto de vista práctico, los números irracionales están tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Números Reales: R = { r | r racional o irracional }. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

7 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional Suponemos lo contrario (reducción al absurdo). Esto significa que p 2 = 2q 2. Demostraremos el teorema probando que ésto es absurdo. Entonces existen dos números enteros p y q tales que p 2 /q 2 = 2 siendo p y q primos entre sí (sin ningún factor común) Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Demostración La raíz cuadrada de 2 no es racional.

8 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional Si p 2 = 2q 2, el área B del cuadrado grande marrón es dos veces el área G del cuadrado verde. p q G B Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Demostración (continuación) La raíz cuadrada de 2 no es racional.

9 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional Observa que como p y q son primos entre sí, son los números más pequeños que cumplen p 2 = 2q 2. p q G B Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Demostración (continuación) La raíz cuadrada de 2 no es racional.

10 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional Por lo tanto B y G, en el dibujo, son los cuadrados más pequeños de longitud de lado un número entero tales que el área de B es dos veces el área de G. p q G B Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Demostración (continuación) La raíz cuadrada de 2 no es racional.

11 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional Si se sitúa una copia del cuadrado verde en la esquina superior derecha del cuadrado más grande. Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Demostración (continuación) p q p-q A A I p q G B La raíz cuadrada de 2 no es racional.

12 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional La intersección I de los dos cuadrados verdes es el cuadrado I con el área I. Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Demostración (continuación) p q p-q A A I p q G B La raíz cuadrada de 2 no es racional.

13 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional La construcción implica que I = 2A. Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Demostración (continuación) Como la longitud del lado de A es p q la del lado del cuadrado I será p- 2(p-q) =2q p. p q p-q A A I p q G B La raíz cuadrada de 2 no es racional.

14 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional I = 2A es ahora imposible, mientras G y B sean los los cuadrados más pequeños con B = 2G. Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Demostración (continuación) p q p-q A A I p q G B La raíz cuadrada de 2 no es racional.

15 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Demostración de Hipaso Supongamos lo contrario. Entonces existen dos números enteros p y q, que no tienen factor común tales que La raíz cuadrada de 2 no es racional.

16 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional Como p es par, es de la forma p = 2n para un entero n. Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Por lo tanto p 2 = 2q 2. Entonces p 2 debe ser par. Pero esto es sólo posible si p es par (porque no es un número entero). Demostración de Hipaso La raíz cuadrada de 2 no es racional.

17 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional Es decir: 4n 2 = 2q 2. La ecuación p 2 = 2q 2 entonces implica que (2n) 2 = 2q 2. Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Por tanto se tiene: 2n 2 = q 2. Demostración de Hipaso La raíz cuadrada de 2 no es racional.

18 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional Por lo tanto tanto p como q deberían ser pares La ecuación 2n 2 = q 2 implica que q es par. Teorema No existe ningún número racional r tal que: r 2 = 2. Pero ésto es imposible, porque suponemos que p y q son primos entre sí. Demostración de Hipaso La raíz cuadrada de 2 no es racional.

19 Otros Número Irracionales Los siguientes números son famosos números irracionales: El número es irracional o un entero. e r es irracional para los números racionales r tales que r 0. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

20 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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