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Problemas resueltos del Teorema Fundamental del Cálculo.

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Presentación del tema: "Problemas resueltos del Teorema Fundamental del Cálculo."— Transcripción de la presentación:

1 Problemas resueltos del Teorema Fundamental del Cálculo

2 Propiedades básicas de las Integrales Propiedades Básicas de las Integrales A lo largo de todo este tema suponemos que todas las funciones son continuas en un intervalo cerrado I = [a,b]. Debajo, r es un número real y tanto f como g son funciones Estas propiedades surgen de la definición de integral como límite de una suma de Riemann. Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

3 Tabla de Integrales Indefinidas De forma abreviada: 10 Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

4 Teorema Fundamental del Cálculo Teorema Si f una función continua entonces la función es una primitiva de la función f, es decir, F(x) = f(x). Recíprocamente, si F es cualquier primitiva de f entonces Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

5 Hallar las sumas de Riemann para la integral con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el extremo izquierdo, el punto medio y el extremo derecho respectivamente.. Problemas 1 1 Hallar, utilizando la definición, el área encerrada por la gráfica de la función y = x 3 y eje X para 0 x Calcular el límite, interpretándolo como el área de una figura geométrica conocida y hallando entonces el área de dicha figura Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

6 Problemas Encontrar el error en el siguiente cálculo de 8 8 Sea f una función continua tal que Determinar f(1). 9 9 Calcular Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

7 Problemas 1 1 Hallar, utilizando la definición, el área encerrada por la gráfica de la función y = x 3 y eje X para 0 x 2. Suma superior = Solución Aproximación del área por exceso: Respuesta El área es 4. Evaluamos x 3 en el extremo derecho del subintervalo k. Longitud de los subintervalos. Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

8 Problemas 2 2 Calcular el límite, interpretándolo como el área de una figura geométrica conocida y hallando entonces el área de dicha figura. Solución Debemos relacionar la suma dada con una suma aproximada del área encerrada por la gráfica de una función. Se observa que: De esta manera resulta obvio que la suma aproxima el área encerrada por la gráfica de x 2 para 0 x 1. Dicha área ya la hemos calculado y da como resultado 1/3.ya la hemos calculado Respuesta Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

9 Sumas de Riemann Los puntos de división son: {0, /10,(2 )/10,(3 )/10,(4 )/10, /2}. Solución Hallar las sumas de Riemann para la integral con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el extremo izquierdo, el punto medio y el extremo derecho respectivamente Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

10 Sumas de Riemann La función sen(x) es creciente en el intervalo de integración. Por lo tanto la suma que obtiene tomando el extremo inferior de cada subintervalo, aproxima la integral por defecto y la suma que se obtiene tomando el extremo superior, aproxima la integral por exceso. La suma obtenida tomando el punto central devuelve la mejor aproximación, ya que el valor exacto de la integral es 1, que es fácil de calcular gracias al Teorema Fundamental del Cálculo. Izq(5) Med(5) Der(5) Comentarios sobre la solución Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

11 Sumas de Riemann La suma en cuestión a simple vista no parece una suma de Riemann, ya que los sumandos no son de la forma (valor de la función)×(longitud del subintervalo). Hace falta modificarla. Ahora tenemos la longitud del subintervalo. 4 4 Solución Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

12 Sumas de Riemann La conclusión anterior fue que Hallar el valor de esta integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo es bastante complicado. Por lo tanto el valor de la integral es el área pintada en azul. 4 4 Solución Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

13 Estimación de integrales La integral en cuestión encierra el área de la región situada entre la curva roja y el eje X. Por lo tanto el área encerrada por debajo de la recta azul y=1 es un valor inferior al propio valor de la integral. 5 5 Solución Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

14 Uso del Teorema Fundamental del Cálculo La función F está definida mediante una integral cuyos límites de integración dependen de x. Esto significa que debemos modificarla para poder aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo. Mediante TFC Regla de la cadena 6 6 Solución Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

15 Uso del Teorema Fundamental del Cálculo Respuesta La gráfica de la función f(x)= 1/x 2 puede verse en la figura de arriba. Podemos observar que f(x) no es continua en x=0, por lo que no la podremos hallar la integral empleando el TFC. Este resultado no puede ser correcto ya que la función a integrar es positiva y en consecuencia el valor de la integral debería ser también positivo. 7 7 Solución Encontrar el error en el siguiente cálculo de Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

16 Uso del Teorema Fundamental del Cálculo Hay que derivar la ecuación dada para obtener la expresión de la función f. Por tanto : Por otro lado: Conclusión Usando TFC y la Regla de la Cadena. 8 8 Solución Sea f una función continua tal que Determinar f(1). Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

17 Uso del Teorema Fundamental del Cálculo 9 9 Calcular Utilizando la regla de LHopital: Solución Por el TFC : Conclusión Utilizamos el hecho de que Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

18 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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