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El Límite Definición de la Función Seno Aproximaciones de la Función Seno Ejemplos Límites Trigonométricos.

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Presentación del tema: "El Límite Definición de la Función Seno Aproximaciones de la Función Seno Ejemplos Límites Trigonométricos."— Transcripción de la presentación:

1 El Límite Definición de la Función Seno Aproximaciones de la Función Seno Ejemplos Límites Trigonométricos.

2 El Límite Conjetura El límite es importante para aplicaciones más avanzadas. Sustituyendo x = 0 nos lleva a una indeterminación del tipo 0/0. xsen(x)/x Calculando valores de sen(x)/x con ordenador obtenemos la tabla de la izquierda. A la derecha tenemos la representación de sen(x)/x. Los valores calculados y la representación nos llevan a: Esto es correcto, pero el resultado necesita una justificación matemática. Empezamos por hablar d la función Seno.

3 Límites Trigonométricos. 1 Funciones Trigonométricas Definición Considerar los ángulos positivos α como se indica en la figura sen( α ) cos( α ) α Para ángulos α, 0 α < π /2, sen( α ) es la longitud del segmento rojo (cateto), opuesto al ángulo α en el triángulo de la derecha, con hipotenusa de longitud 1. El segmento azul tiene una longitud cos( α ). Para un ángulo positivo general α, cuyo comienzo es el eje x positivo, se definen cos( α ) y sen( α ) como las coordenadas x e y de intersección del lado final del ángulo y la circunferencia de radio 1. Extendemos esta definición a ángulos negativos mediante: cos( α ) = cos( α ) y sen(– α ) = –sen( α ). 1 sen( α ) cos( α ) α

4 Límites Trigonométricos. Funciones Trigonométricas (2) Definición Esta identidad básica sale del hecho de que el punto (cos(x), sen(x)) es, por su definición, un punto del círculo unidad. Gráficas de: 1.sen(x), la curva roja, y 2.cos(x), la curva azul. sen 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1 sen( α ) cos( α ) α 1

5 Límites Trigonométricos. α 1 sen( α ) Funciones Trigonométricas (3) Conclusión El tamaño del ángulo está medido como la longitud α del arco, indicado en la figura, en una circunferencia de radio 1 con centro en el vértice. Sen( α ) es la longitud del segmento rojo de la figura. La desigualdad de arriba es obvia por la figura. Para ángulos negativos α la desigualdad es al revés. Para ángulos positivos α, 0 < sen( α ) < α. El área de un sector de ángulo α de un círculo de radio r viene dado por: Área = Área de un sector circular Longitud del arco verde = α (medido en radianes)

6 Límites Trigonométricos. tan( α ) α 1 Funciones Trigonométricas (4) El sector de ángulo α de un círculo de radio 1 está contenido en el triángulo de la derecha y el segmento azul es tan( α ) = sen( α )/cos( α ). Para ángulos α, 0 α cos( α ). Conclusión Esto implica: Por tanto, el área del sector del círculo es menor que el área del triángulo. Es decir,.

7 Límites Trigonométricos. Encuentra el límite Como para α > 0, se tiene que 0 < sen( α ) < α, usando la Regla del Sandwich Conclusión El área estimada, sen( α ) > α cos( α ) combinada con sen( α ) < α, da α > sen( α ) > α cos( α ) para 0 < α < π/2. La fórmula trigonométrica sen 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1 junto con las Reglas de Límites implica: Dividiendo por α obtenemos: para 0 < α < π/2. Por tanto Como tenemos: Aquí usamos la Regla de Sandwich y el hecho de que:

8 Límites Trigonométricos. Ejemplos Problema 1 Solución Calcular Reescribimos Por la conclusión anterior: Por tanto Respuesta

9 Límites Trigonométricos. Ejemplos Problema 2 Solución Calcular Reescribimos Por tanto Respuesta Sustituyendo α = sen( α ) por obtenemos:

10 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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