La Función Exponencial

Presentación del tema: "La Función Exponencial"— Transcripción de la presentación:

1 La Función Exponencial
Potencias Enteras Potencias Racionales e Irracionales Propiedades de Potencias La Constante Matemática e La Función Exponencial Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.

2 Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.
¿Potencias Generales? Todos sabemos que: 22 = 2  2 = 4. Pregunta Inicial ¿Qué significa 2 ? Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.

3 Potenciales Generalizadas
Para un número a, se definen las potencias de enteros positivos como: a1 = a, a2= a  a, an+1 = a  an para n > 1. Las potencias de enteros negativos se definen como para n = 1, 2, …. Suponiendo que a ≠ 0, se define a0 como a0 = 1. Advertencia 00 es indefinido. No se puede asignar un valor a 00. Este es un ejemplo de indeterminación. Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.

4 Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.
Raíces Sea n un entero positivo, y a > 0. Sea b un número positivo tal que bn = a. Si b es positivo, la raíz es única. Definición El número b es la raíz positiva enésima del número positivo a. Notación Advertencia Las raíces pares de números negativos no son reales, es decir, no hay números reales cuyas potencias pares sean números negativos. Si n es un número par positivo y a es un número positivo, la ecuación bn = a tiene siempre dos soluciones b y -b. Si n es impar, la solución es única y positiva. Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.

5 Potencias de Exponentes Racionales e Irracionales
Definición Sea p un entero, y q un entero positivo. Sea a un entero positivo. Se define la potencial racional ap/q como: La definición precisa de aρ para números irracionales ρ puede darse aproximando un número irracional ρ por números racionales p/q, y después aproximar la potencia irracional aρ por potencias racionales ap/q. De este modo ax puede definirse para todos los números reales x suponiendo que a > 0. No entraremos en más detalles sobre esto. Estas consideraciones pueden hacerse rigurosas. La potencia de exponente general puede definirse también usando la integración. Emplearemos más adelante este método para dar una definición precisa de las potencias de exponente general . Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.

6 Propiedades de las Potencias
Las siguientes propiedades de potencias son consecuencia de la definición. Aquí suponemos que a es positivo. 1 2 3 4 Si a > 1, x > y  ax > ay. 5 Si 0 < a < 1, x > y  ax < ay. 6 Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.

7 Funciones Exponenciales
Las funciones exponenciales generales son funciones de la forma f(x) = ax para algunos números positivos a. La figura de la derecha nos muestra las gráficas de las funciones: y = (1/2)x, la curva roja, y = 1x, la recta negra, y = (3/2)x, la curva azul, y y = (5/2)x, la curva verde. Observar que, si a > 1, la función y = ax es creciente. Cuanto más grande sea el número a, más rápido crece el valor de la función y = ax. Si 0 < a < 1, la función y = ax es decreciente. Si a ≠ 1 y a > 0, la función y = ax es biyección monótona entre los números reales y números reales positivos, y:R  R+. Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.

8 Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.
El Número e a=1/2 a=1 a=3/2 a=5/2 Es obvio que, cuando el parámetro a crece, la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función ax en x = 0 crece. Definición La constante matemática e está definida como el único número para el cuál la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función ex en x = 0 es 1. La pendiente de una recta tangente es la tangente del ángulo que forma dicha recta con el eje x. e  Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.

9 La Función Exponencial
Definición La función y = ex es la función exponencial. Como la constante matemática e es mayor que 1, la función exponencial es una biyección creciente entre el conjunto de números reales y el de números reales positivos. La función exponencial es muy importante en cálculo. Aquí hemos definido la constante matemática e empleando una condición geométrica. La constante e puede definirse de manera más rigurosa considerando la expresión: para valores grandes del entero n. Se puede ver que, cuando n crece, los números (1 + 1/n)n se aproximan a la constante matemática e. Más adelante precisaremos este punto. Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.

10 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä