Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares

Presentación del tema: "Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares"— Transcripción de la presentación:

1 Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares
Coordenadas polares y cartesianas Ecuación de una recta Ecuación de un círculo Curvas en polares Áreas en coordenadas polares Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares

2 Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares
Para definir las coordenadas polares en el plano necesitamos un punto al que llamaremos origen y una línea a la que llamaremos eje polar. Ángulo polar P(r, θ) El ángulo polar θ de un punto P, P ≠ origen es el ángulo que hay entre el eje polar y la línea que une el origen con el punto P. Los valores positivos del ángulo indican ángulos medidos en sentido antihorario desde el eje polar. r θ Eje Polar Un ángulo positivo. Coordenadas polares Las coordenadas polares(r,θ) del punto P, P ≠ origen, indican la distancia r entre el punto P y el origen y el ángulo polar θ del punto P. Cualquier (0, θ) representa el origen. Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares

3 Coordenadas polares y cartesianas
A partir del triángulo rectángulo que se ve en la figura se establecen las siguientes relacionesentre las coordenadas cartesianas (x,y) y las coordenadas polares (r,θ). Se supone que el origen de las coordenadas polares coincide con el de las cartesianas y que además el eje polar es el eje X. (x,y) r y θ x x = r cos(θ) y = r sen(θ) r2 = x2 + y2 tan(θ) = y/x Usando estas ecuaciones se puede pasar fácilmente de unas coordenadas a otras. Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares

4 Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares
Ecuación de una recta La ecuación general de una recta en coordenadas cartesianas es de la forma ax + by + c = 0 . Si la recta en cuestión pasa por el origen, c = 0. En este caso la ecuación de la recta en polares es tan(θ) = -a/b. Si la recta no pasa por el origen, hay que substituir x = r cos(θ) e y = r sen(θ) en la ecuación de la recta. Se tiene a r cos(θ) + b r sen(θ) = c. La ecuación de la recta en coordenadas polares es: r = - c/(a cos(θ) + b sen(θ)). Nota: La ecuación de una línea general en las coordenadas polares es bastante complicada en general. Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares

5 Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares
Ecuación de un círculo La ecuación de un círculo de radio r0 y con centro en el origen en cartesianas es x2 + y2 = r02. En coordenadas polares la ecuación del círculo es bastante más simple: r = r0. Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares

6 Curvas en coordenadas polares
Una curva en coordenadas polares está formada por los puntos (r,θ) que satisfacen una ecuación F(r,θ) = 0. A menudo se puede despejar r y representar la curva en coordenadas polares en la forma r = f(θ) Definición Trazado de curvas polares en Maple Usando la opción “coords = polar” en el comando de una parcela a las curvas se las define en las coordenadas polares. Para el comando de Maple plot([sin(4*t),t,t=0..2*Pi],coords=polar); produce la siguiente figura. Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares

7 Áreas en coordenadas polares
Para calcular el área que encierra una curva en coordenadas polares se repiten los mismos pasos que con las curvas en cartesianas. Se divide el área por medio de la líneas que parten del origen (argumento constante) y así se consigue una aproximación a través de la suma de Riemann para la zona del dominio en cuestión. Dividir un dominio en polares en varias secciones, cuya área se aproximará por áreas de las secciones circulares . Aproximar las áreas de las secciones por las áreas de las secciones de los círculos. Curva polar r = 1 + sen(θ) Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares

8 Áreas en coordenadas polares
El área encerrada por la curva de ecuación en coordenadas polares r = f(θ) entre los argumentos θ = a y θ = b viene dado por Fórmula es decir Ejemplo El área encerrada por la curva r = 1 + sen(θ) se calcula de la siguiente manera (véase figura) Coordenadas polares. Áreas en coordenadas polares

9 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä