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La regla de L´Hôpital Aplicaciones de la derivada al cálculo de límites.

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Presentación del tema: "La regla de L´Hôpital Aplicaciones de la derivada al cálculo de límites."— Transcripción de la presentación:

1 La regla de L´Hôpital Aplicaciones de la derivada al cálculo de límites

2 Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de LHospital Evaluación de indeterminaciones Ejemplo Al evaluar ciertas expresiones, para ciertos valores de las variables, el resultado, al hacer la sustitución directa, puede ser de la forma: Es lo que se conoce como INDETERMINACIONES. A una expresión de este tipo, que por sustitución directa es indeterminada, puede asignarsele un valor tomando límites. Se sabe, por otras consideraciones, que La derivación proporciona un algoritmo para calcular límites, de forma mecánica, en muchos casos. Se conoce como la Regla de lHospital (1696). Nota: El nombre también se escribe lHôpital.

3 La regla de L´Hôpital La regal de LHospital puede también aplicarse a los límites laterales o límites en el infinito Observación La regla de LHospital Supongamos que las funciones f y g son derivables y que g( x ) 0 para x próximo a a. Supongamos que o y. Entonces Supuesto que el último limite exista y que g no cambie de signo infinitas veces cerca del punto a. La regla puede aplicarse repetidamente, suponiendo que, después de un cierto número de derivaciones se obtiene un límite (no es una indeterminación) Esta simple condición excluye ciertos casos especiales para los cuales la regla no funciona Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de LHospital

4 Prueba Prueba, en un caso especial, de la regla de lHospital Demostración Lo reescribimos usando el hecho que f(a)=g(a)=0. Supongamos que f y g son funciones continuas en un punto a, y que g(a) 0. Supongamos también que f( a ) = g( a ) = 0. Entonces En lo anterior suponemos que x a. La continuidad de las derivadas f y g da lugar a la última igualdad. Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de LHospital

5 Ejemplos Solución Ejemplo Determine Hemos escrito antes que Entonces podemos concluir, sin más cálculos, que También se puede hallar el límite usando la regla de lHospital: Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de LHospital

6 Un error usual Correcto Regla de LHospital Al aplicar la regla de lHospital, se tiene que derivar el numerador y el denominador separadamente. Un error usual es derivar el cociente f( x )/g( x ). Ésto da lugar a tediosos, innecesarios y ERRÓNEOS cálculos. Cálculo erróneo No caer en este error. El cálculo es incorrecto!!!! =??? Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de LHospital

7 Ejemplo Solución Ejemplo Determinar usando la regla de L´Hospital Hemos visto ya que Que se puede hallar aplicando dos veces la regla de LHospital : Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de LHospital

8 Límites en el Infinito Solución Ejemplo Hallar el límite Aplicando la regla de LHospital se tiene: La regla de LHospital se puede también aplicar cuando la variable tiende a ± infinito: Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de LHospital

9 La regla de LHospital no funciona siempre Solución Ejemplo Hallar el límite Aplicando la regla de lHospital se obtiene La regla de Hospital puede fallar incluso aunque exista el límite Sin embargo reescribiendo el límite se obtiene pues La última expresión no tiene límite y ya no se puede aplicar más la regla de lHospital Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de LHospital

10 La regla de LHospital no funciona siempre Solución Ejemplo Hallar el límite. Aplicando dos veces la regla de lHospital se tiene Por tanto no se puede hallar el límite aplicando la regla de lHospital Reescribiendo el límite Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de LHospital La regla de Hospital puede fallar incluso aunque exista el límite

11 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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