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Problemas Resueltos sobre Sucesiones Monótonas Sucesiones monótonas. Problemas resueltos.

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1 Problemas Resueltos sobre Sucesiones Monótonas Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

2 Sucesiones Monótonas Problema 1 Solución Demostrar que la sucesión es monótona. Sea Entonces para todo n. Por lo tanto la sucesión (a n ) = es creciente.

3 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Sucesiones Monótonas Problema 2 Se define la sucesión (a n ) de la forma a n = 1 y Solución La sucesión (a 1,a 2,a 3,…) no es creciente ni decreciente. Por lo tanto no es monótona, pero parece que los términos impares de la sucesión (a n ) forman una sucesión decreciente y los pares una sucesión creciente. Estudiar la convergencia de esta sucesión. El siguiente dibujo muestra el intervalo [1/2,1] con algunos términos de a n. a 5 =47/60a 6 =37/60 a 2 =1/2a 4 =7/12a 3 =5/6a 1 =1

4 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Sucesiones Monótonas Problema 2 Se define la sucesión (a n ) de la forma a n = 1 y Solución (cont.) Hemos visto que (a 1,a 2,a 3,…) no es monótona. Sea b m = a 2m, y c m = a 2m-1, para m = 1,2,3,…. Estudiar la convergencia de esta sucesión. Entonces Conclusión: la sucesión (b m ) es creciente.

5 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Sucesiones Monótonas Problema 2 Se define la sucesión (a n ) de la forma a n = 1 y Sean b m = a 2m, y c m = a 2m-1, para m = 1,2,3,…. Estudiar la convergencia de esta sucesión. Asimismo Conclusión: la sucesión (c m ) es decreciente. Hemos visto que (b m ) es una sucesión creciente. Solución (cont.)

6 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Sucesiones Monótonas Problema 2 Se define la sucesión (a n ) de la forma a n = 1 y Sean b m = a 2m, y c m = a 2m-1, para m = 1,2,3,…. Estudiar la convergencia de esta sucesión. Observamos que b m < c m para todo m ya que Hemos visto que (b m ) es creciente y (c m ) es decreciente. Entonces b m < c m < c 1, luego la sucesión (b m ) está acotada superiormente (por c 1 ). En consecuencia la sucesión (b m ) tiene límite. Solución (cont.)

7 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Sucesiones Monótonas Problema 2 Se define la sucesión (a n ) de la forma a 1 = 1 y Sean b m = a 2m, y c m = a 2m-1, para m = 1,2,3,…. Estudiar la convergencia de esta sucesión. Hemos visto que la sucesión (b m ) tiene límite. Con un razonamiento similar demostramos que (c m ) tiene límite. Ya que, estos límites son los mismos. Límite=ln 2 Más tarde veremos que Observación c 1 =1b 1 =1/2c 2 =5/6b 2 =7/12 c 3 =47/60b 3 =37/60 Solución (cont.)

8 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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