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Funciones y sus Propiedades Básicas Funciones y sus Gráficas Tangentes y Asíntotas Inyectividad y Sobreyectividad Funciones Crecientes y Decrecientes Funciones/Funciones.

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1 Funciones y sus Propiedades Básicas Funciones y sus Gráficas Tangentes y Asíntotas Inyectividad y Sobreyectividad Funciones Crecientes y Decrecientes Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

2 Funciones Una función es una aplicación que asigna a cada elemento del dominio de la función un elemento de un conjunto, llamado imagen del dominio. Ejemplos La balanza es una función. Asigna a cada persona que se coloca sobre ella, el peso de dicha persona. 1 1 El termómetro es una función que mide la temperatura en un lugar determinado a lo largo del tiempo. El dominio de la función es un intervalo de tiempo, y la imagen es el conjunto de temperaturas que alcanza ese termómetro en particular. 2 2 Las horas de luz de un día es una función. 3 3 f Gráficamente Dominio de la función Imagen

3 Horas de luz en el día Mes Horas Helsinki Miami Para entender cómo varían las horas de luz de día en un año, uno puede medir la duración del primer día de cada mes. Estos datos se pueden representar. Uniendo dichos puntos con líneas rectas o curvas suaves obtenemos una gráfica que permite entender como varía la luz del día a lo largo del año. Las horas de luz del día es una función, y su gráfica, que corresponde a las mediciones, es la gráfica de la función. Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

4 Definición de Funciones Sean los conjuntos A y B. Una función f : A B es una aplicación que asigna un elemento f(a) del conjunto B a todo elemento a del conjunto A. Si los conjuntos A y B son finitos, entonces la aplicación puede ser expresada a través de una tabla o un diagrama. Normalmente, los conjuntos A y B no son finitos. En este caso, la aplicacion en cuestión se expresa normalmente en forma de una expresión algebraica, incluyendo posiblemente funciones especiales, para f(a). La aplicación para calcular f(a), para una a dada, puede ser un programa en el que se introduce a como dato y se obtiene f(a) como resultado. Definición Sea f : A B una función. El conjunto A es el dominio de la función f. El conjunto B es el conjunto imagen de la función f. El conjunto f(A) = { f(a) | aA } B es el rango de la función f. Ejemplo Es una función que está definida para x 1. Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

5 Gráficas de Funciones Ejemplos En cálculo estamos familiarizados con funciones del tipo que asignan un número real a otro número real. Estas funciones vienen definidas normalmente por una expresión explícita para f(x). El conjunto es el plano. Se representa normalmente dibujando el eje x horizontalmente, y el eje y verticalmente. La gráfica de la función es la del conjunto. Abajo están las gráficas de las funciones f(x) = sin(x 2 ), g(x) = x 4 – 2x 3 – x 2 + 2x and h(x) = 2 sin(x). Cuál es cuál? h(x) = 2 sen(x) f(x) = sen(x 2 )g(x) = x 4 – 2x 3 – x 2 + 2x Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

6 Curvas y Gráficas Problema Cuál de las siguientes curvas en el plano son gráficas de funciones? Solución Las primeras dos curvas no son gráficas de una función, ya que no se corresponden con ninguna aplicación que asocie un único valor de y a un valor de x dado. Gráficamente, esto significa que hay líneas verticales que tienen más de un punto de intersección con las dos primeras curvas. Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

7 Rectas Secantes y Tangentes Una recta que corta la gráfica de una función en dos puntos es una recta secante. Si se modifica una recta secante rotándola alrededor del primer punto de intersección de modo que el segundo punto se aproxime al primero, se obtiene en el límite una recta tangente. Recta secante Recta tangente Puede ocurrir que, en el límite, no obtengas una única recta definida. En estos casos, la gráfica de la función no tiene tangente en ese punto. No hay tangente en este punto Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

8 Asíntotas Una asíntota de una curva es una recta que se aproxima a la curva si uno se mueve suficientemente lejos a lo largo de la curva. Aquí vemos la gráfica de la función y sus asíntotas, la recta y = x, y la asíntota vertical x = 2. Una gráfica puede cortarse con su asíntota infinitas veces. Las asíntotas nos dan información sobre el comportamiento de una gráfica cuando nos movemos suficientemente lejos a lo largo de ella. Las rectas tangentes nos dan información local sobre cómo se comporta la gráfica cerca del punto de tangencia. Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

9 Funciones Inyectivas Definición Una función uno-a-uno asocia como mucho un punto de A a cualquier punto dado del conjunto B; e.j. f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Problema Cuáles de las siguientes gráficas pertenecen a una función uno-a-uno? Solución Ninguna de las gráficas de arriba es de una función uno-a- uno, ya que a cada valor de y le corresponden varios valores de x. Esto se puede apreciar viendo cómo una recta horizontal corta a la gráfica en varios puntos. Una función f: A B es inyectiva o uno-a-uno si dos elementos diferentes de A tienen imágenes distintas en B; e.j. si x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

10 Funciones Sobreyectivas (sobre) y Biyectivas Definición Una función f: A B es sobreyectiva o sobre si su rango es el conjunto imagen B; es decir si y B: x A tal que f(x) = y. Una función f: A B es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva; es decir si y B: ! x A tal que f(x) = y. La notación ! x A, significa que hay un único elemento en el conjunto A que cumple dicha propiedad. Sobreyectiva No inyectiva. Biyectiva Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

11 Funciones Crecientes y Decrecientes Definición Una función f es creciente si a > b f(a) > f(b). Una función, cuyos valores crecen al crecer el valor de la variable independiente, se llama creciente. Si los valores de la función decrecen cuando el valor de la variable crece, la función es decreciente. Una función f es decreciente si a > b f(a) < f(b). Una función f es monótona si es creciente o decreciente Teorema Una función monótona es uno-a-uno (inyectiva). Demostración Tenemos que demostrar que, si x 1 x 2, entonces también f(x 1 ) f(x 2 ). Supongamos f creciente.Si x 1 x 2, será x 1 > x 2 o x 1 < x 2. Si x 1 > x 2, f(x 1 ) > f(x 2 ), ya que f es creciente. Si x 1 < x 2, f(x 1 ) < f(x 2 ). En ambos casos, f(x 1 ) f(x 2 ). Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

12 Resumen Las funciones son aplicaciones que asignan un elemento de la imagen a cualquier elemento del dominio de la función. Las funciones se definen normalmente por expresiones algebraicas como El dominio de la función es el conjunto de valores para los que la expresión algebraica está definida. Las rectas tangentes a la gráfica de una función dan información local sobre la función cerca del punto de tangencia. Las asíntotas dan información global sobre la gráfica de la función. Las funciones son inyectivas, o uno-a-uno, si asignan diferentes elementos de la imagen a distintos elementos del dominio. Las funciones son biyectivas, si son inyectivas y si cada elemento de la imagen se corresponde con algún elemento del dominio. Las funciones monótonas son inyectivas, y establecen una biyección entre el dominio y el rango de la funcion. Funciones/Funciones elementales/Propiedades básicas

13 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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