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El conjunto de los números reales es Completo Completitud de los Números Reales Supremo (Sup) e Ínfimo (Inf) Caracterización del Sup y del Inf Los números.

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1 El conjunto de los números reales es Completo Completitud de los Números Reales Supremo (Sup) e Ínfimo (Inf) Caracterización del Sup y del Inf Los números reales/ Completitud de los números reales

2 Cota Superior e Inferior Todos los conjuntos que trataremos en esta presentación contienen algún elemento. Un conjunto A puede no tener cota superior. El conjunto A está acotado superiormente si A tiene una cota superior finita. Definición Un número M es una cota superior de un conjunto A si, para todos los elementos a de A, a M. Observación Los números reales/ Completitud de los números reales

3 Cota Superior e Inferior Definición El conjunto A está acotado inferiormente si A tiene una cota inferior finita. Un número m es una cota inferior de un conjunto A si, para todos los elementos de A, a m. El conjunto A está acotado si lo está superior e inferiormente. Los números reales/ Completitud de los números reales

4 Cotas de Enteros, Racionales y Reales Observaciones Todo conjunto no vacío de números reales, con un número finito de elementos, está acotado. Entre los elementos de un conjunto finito existe siempre un elemento mayor y otro menor que todos los demás. 1 1 Todo conjunto no vacío de números enteros, acotado superiormente, tiene siempre un elemento superior a los demás que es también un entero. Éste es la menor cota de dicho conjunto. 2 2 Los números reales/ Completitud de los números reales

5 Cotas de Enteros, Racionales y Reales Observaciones 3 3 Considerar el conjunto de números reales A = {r | r 2 2}. El conjunto de las cotas superiores racionales de los elementos de A no tiene un elemento inferior a todos los demás. ¡Esto significa que el conjunto de los números racionales no es completo! Este conjunto claramente está acotado superior e inferiormente. Esto es debido al hecho de que no es racional. Los números reales/ Completitud de los números reales

6 Supremo Definición La cota superior más pequeña del conjunto A se llama el supremo del conjunto A. Notación sup(A) = el supremo del conjunto A. Sea A un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente. El conjunto A tiene una cota superior menor a las demás cotas superiores. Completitud de los Números Reales Los números reales/ Completitud de los números reales

7 Supremo Ejemplo sup {–1,1,2,5} = 5. Sea A = { 1 – 2 -n | n natural }. Entonces sup(A) = 1. Los números reales/ Completitud de los números reales

8 Ínfimo Definición La cota inferior mayor del conjunto A se llama el ínfimo del conjunto A. Notación inf(A) = el ínfimo del conjunto A. Sea A un conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente. El conjunto A tiene una cota inferior mayor a las demás cotas inferiores. Completitud de los Números Reales Los números reales/ Completitud de los números reales

9 Ínfimo Ejemplo inf {–1,1,2,5} = –1. Sea A = { n | n natural}. Entonces inf(A) = 1. Los números reales/ Completitud de los números reales

10 Caracterización del Supremo Demostración Teorema Supongamos que s = sup( A ). Como s es una cota superior del conjunto A, la condición 1 se cumple. s = sup( A ) sí y sólo si: Los números reales/ Completitud de los números reales

11 Caracterización del Supremo Demostración (continuación) Teorema Para comprobar que la condición 2 también se cumple, supongamos que es falsa. Entonces existe un número positivo ε tal que no existen elementos a del conjunto A con |s – a| < ε. Entonces s – ε es también una cota superior de A. Esto es imposible, ya que s es la cota superior más pequeña del conjunto A. s = sup( A ) sí y sólo si: Los números reales/ Completitud de los números reales

12 Caracterización del Supremo Demostración (continuación) Teorema Supongamos ahora que s cumple las condiciones 1 y 2. s = sup( A ) sí y sólo si: Tenemos que demostrar que s es la cota superior mínima del conjunto A. La condición 1 implica que s es una cota superior de A. Los números reales/ Completitud de los números reales

13 Caracterización del Supremo Demostración (continuación) Teorema Para demostrar que s es la cota superior mínima, suponemos que no lo es. s = sup( A ) sí y sólo si: Entonces existiría una cota superior t de A, t < s. Por lo tanto s – t > 0. Por tanto s no cumpliría la condición 2 para ε = s – t. Los números reales/ Completitud de los números reales

14 Caracterización del Ínfimo Teorema r = Inf( A ) sí y sólo si: Los números reales/ Completitud de los números reales

15 Usando las Caracterizaciones Definición Para un conjunto A, A R, se define 2A por Enunciado Suponiendo que sup( A ) <, sup( 2A ) = 2sup( A ). Los números reales/ Completitud de los números reales

16 Usando las Caracterizaciones Enunciado sup( 2A ) = 2sup( A ). Teorema s = sup( A ) sí y sólo si: Demostración usando: Los números reales/ Completitud de los números reales

17 Usando las Caracterizaciones Enunciado sup( 2A ) = 2sup( A ). a sup( A ) de donde 2a 2sup( A ) Por tanto 2 sup( A ) sup( 2A ). Demostración Los números reales/ Completitud de los números reales

18 Usando las Caracterizaciones Enunciado sup( 2A ) = 2sup( A ). Demostración Multiplicando por 2 obtenemos |2sup( A ) – 2a | < ε. Sea ε > 0. Tenemos que demostrar que tal que |2sup( A ) – 2a | < ε. Como ε /2 > 0, tal que |sup( A ) – a | < ε /2. Ésto demuestra el enunciado. Los números reales/ Completitud de los números reales

19 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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