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Integral Indefinida Integrales indefinidas Tabla de Integrales Indefinidas Variación neta de una Función Distancia recorrida ¿Que coche gana?

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Presentación del tema: "Integral Indefinida Integrales indefinidas Tabla de Integrales Indefinidas Variación neta de una Función Distancia recorrida ¿Que coche gana?"— Transcripción de la presentación:

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2 Integral Indefinida Integrales indefinidas Tabla de Integrales Indefinidas Variación neta de una Función Distancia recorrida ¿Que coche gana?

3 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida Integrales Indefinidas Definición Se llama integral indefinida de una función f a una primitiva F de f. Notación Ejemplo ya que: Observación La mayoría de los sistemas informáticos de matemáticas abusan de esta notación por razones prácticas y la interpretan como una primitiva específica de la función y no como el conjunto de todas ellas.

4 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida Tabla de Integrales Indefinidas De forma abreviada:

5 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida Cálculo de Integrales Indefinidas Ejemplo 1 Solución Podemos calcular esta integral usando la tabla repetidamente.

6 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida Cálculo de Integrales Indefinidas Ejemplo 2 Solución Para integrar esta función es necesario en primer lugar reescribirla, para luego calcular la integral usando la tabla anterior. Expresamos la función como: Para obtener:

7 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida Variación neta de una función Esto se puede expresar como: La cantidad F(b) – F(a) es la variación neta (total) de la función F en el intervalo [a,b]. La derivada F(x) es la razón de cambio de la función F. Por el Teorema Fundamental del Cálculo tenemos, para una integral indefinida F de f : Definición

8 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida Distancia recorrida coche Acoche B La figura nos muestra la velocidad en m/s de dos coches de carreras durante los 20 primeros segundos de competición. ¿Que coche liderará la carrera tras los 20 primeros segundos? Problema En este problema las funciones, velocidades de los coches, vienen definidas por un tacómetro (cuentarrevoluciones) y no por una expresión matemática concreta.

9 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida Cálculo de la Distancia recorrida (1) Para calcular la distancia recorrida por el coche A, cuya velocidad conocemos, tendremos que dividir el intervalo (de 0 a 20 segundos) en subintervalos en los que su velocidad se pueda considerar constante. Por tanto, para hacer un cálculo aproximado, necesitaremos tomar un gran número de subintervalos. Durante los dos primeros segundos, la velocidad media del coche es aproximadamente la velocidad que lleva en el segundo t=1. La distancia que el coche habrá recorrido durante los dos primeros segundos será (velocidad en t=1 s)×(2 segundos)

10 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida Cálculo de la Distancia recorrida (2) Por tanto si

11 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida Cálculo de la Distancia recorrida (3) Por otro lado, si n aumenta, la suma de las distancias recorridas: se aproxima a la integral de la velocidad en el intervalo de tiempo en cuestión. Conclusión

12 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida Cálculo de la Distancia recorrida (4) Nosotros no tenemos ningún método matemático para calcular una primitiva de un tacómetro. Un cuentaquilómetros de un coche es una primitiva del tacómetro, pero nosotros no tenemos lecturas del cuentaquilómetros. Los únicos datos disponibles son los datos del tacómetro. Problema La velocidad s(t) no viene dada por una función matemática sino por el tacómetro. Por lo tanto la integral que nos da la distancia recorrida no pude ser calculada con el Teorema Fundamental del Calculo. Tenemos que usar Cuanto más grande es n, mejor es la estimación.

13 Integración/Introducción a la integración/Integral indefinida ¿Que coche ganará? Coche A Coche B A partir de los datos dados (en la gráfica) podemos calcular las Sumas de Riemann para obtener las distancias recorridas por los coches tras los 20 primeros segundos. Estimación numérica Coche A Coche B Velocidad: metros/segundo, Tiempo: segundos Distancia: metros Coche Ganador Tomamos n=40.

14 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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