Extremos de una función. 5.1 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable. Extremos de una función.

Habilidades Explica con sus palabras los conceptos básicos de la optimización. Explica con sus palabras el significado y el alcance del teorema de Fermat y el método del intervalo cerrado para hallar extremos absolutos. Determina los números críticos de una función. Halla los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado. Explica con sus palabras los teoremas de Rolle y del valor medio a partir de una interpretación gráfica. 2 2

Ejemplo 1: Ubique los puntos de máximo y mínimo absoluto de f : 3 E H C D E F G H 3 3

Valores máximos y mínimos absolutos Definición Sea D el dominio de f. Se dice que f tiene un punto de máximo absoluto en cD, si f(c)≥f(x) para todo x en D. El número f(c) se llama valor máximo absoluto de f en D y c es el valor de xD donde se alcanza el máximo absoluto. Luego el par ordenado (c;f(c)) se llama punto de máximo absoluto. 4

Valores máximos y mínimos absolutos Definición Sea D el dominio de f. Se dice que f tiene un punto de mínimo absoluto en cD, si f(c)≤f(x) para todo x en D. El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de f en D y c es el valor de xD donde se alcanza el mínimo absoluto. Luego el par ordenado (c;f(c)) se llama punto de mínimo absoluto. Los valores máximos y mínimos se conocen como valores extremos de f. 5

Ejemplo 2: Ubique los puntos de máximo y mínimo local de f : y x a b c h k 6 6

Valores máximos y mínimos locales Definición Sea D el dominio de f. Se dice que f tiene un punto de máximo relativo o local en cD, si f(c)≥f(x) para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Se dice que f tiene un punto de mínimo relativo o local en cD, si f(c)≤f(x) para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Los valores máximos y mínimos locales se conocen como valores extremos locales de f. 7

Ejemplo 3: ¿Tiene f extremos locales?, ¿tiene extremos absolutos? y x 8 8

Teorema del valor extremo Si f es continua en [a, b] entonces: f alcanza un máximo absoluto f(c) y un mínimo absoluto f(d) en algunos números c y d de [a; b]. ¿Se dan las condiciones para que se cumpla el teorema? y x a b y x a b y x a b 9 9

Teorema de Fermat Teorema Si f tiene un extremo local en c y si f ’ (c) existe entonces: y x c1 c2 c3 10 10

Números críticos Definición Un número crítico de una función f es un número c en su dominio tal que: Teorema Si f tiene un extremo local en c entonces c es un número crítico de f. 11 11

Ejemplo 4: Dada la gráfica de una función f, señale (si lo hay) los números críticos. y x a c1 c c3 c4 c2 c5 c6 c7 Ejemplo 5: Pág. 274 Encuentre los números críticos de la función: 12 12

Extremos absolutos Método del intervalo cerrado Para hallar los extremos absolutos de una función f continua en [a, b]: 1 Encuentre los valores de f en los números críticos de f en ]a, b[. 2 Encuentre f(a) y f(b). 3 El mayor de los valores obtenidos en 1 y 2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto. 13 13

Ejemplo 6: Pág. 275 Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de las funciones: 14 14

Teorema de Rolle Teorema Sea f : 1 Continua en [a, b]. 2 Derivable en ]a, b[. 3 f (a)=f (b) . Entonces Existe c ]a, b[ tal que f ’(c)=0. y x a b c1 c2 15 15

Teorema del valor medio 1 Continua en [a, b]. Sea f: 2 Derivable en ]a, b[. Entonces Existe c  ]a, b[ tal que y x a b c2 c1 16 16

Ejemplos: Ejemplos 3 o 4 Pág. 283. Ejercicio 7 Pág. 285.

Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Ejercicios 4.1 – Pág. 277. Ejercicios: 14, 28, 30, 34, 40, 48, 54, 56, 58, 60, 62, 70 y 73. Ejercicios 4.2 – Pág. 285. Ejercicios: 1 y 7.