Prof. Luis Martínez Catalán 2008

Presentación del tema: "Prof. Luis Martínez Catalán 2008"— Transcripción de la presentación:

1 Prof. Luis Martínez Catalán 2008
DERIVACION IMPLICITA Prof. Luis Martínez Catalán 2008

2 DERIVACION IMPLICITA En general, la ecuación , para determinados intervalos de , define a como una función de ; en tal caso su derivada se determina por el METODO DE DERIVACION IMPLICITA que consiste en derivar directamente, la ecuación considerada, como un polinomio en e teniendo presente que, para determinar dos intervalos de , la variable se comporta como función de y es diferenciable con respecto a , es decir, existe , que por la regla de la cadena, debe derivarse primero con respecto a y luego con respecto a

3 Ej: Por el método de derivación implícita, encontrar
1) -

4 2)

5 Ej: Determinar , si Solución:

6 Ej: Hallar la derivada de la relación
Solución: Por definición de valor absoluto se tiene: ii) i) En i) y ii), derivando implícitamente, se observa que la derivada del 2º miembro es nula, por lo tanto, para i) y ii), se tiene: -

7 Ej: Hallar la ecuación de la tangente y normal a la curva
En el punto (1,1) de ella Solución: (1,1) es pto. de la curva. Derivando implícitamente con respecto a se tiene: - T: N:

8 DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
Sí es diferenciable, entonces se tiene , 1ª derivada de con respecto a Puesto que es función de , se tiene derivando con respecto a , 2ª derivada de con respecto a es función de , entonces: , 3ª derivada de con respecto a

9 Sí tiene derivadas, se llega a la expresión:
, -ésima derivada de con respecto a Ej: Determinar las derivadas sucesivas de Solución:

10 Ej: Determinar en la ecuación , suponiendo
que es función de Solución: Derivando implícitamente:

11

12 APLICACIONES DE LA DERIVACION
TEOREMA (Teorema de los valores extremos) Si es una función continua definida en el intervalo cerrado , existe (por lo menos) un punto tal que , en el cual toma el mayor valor, y existe, (por lo menos) un punto , tal que en el cual toma el menor valor.

13 Gráficamente se cumple en que es el máximo valor de en y
se cumple en que es el máximo valor de en y es el mínimo valor de en

14 TEOREMA: Supóngase que es continua en un intervalo que toma su
valor máximo (o mínimo) en algún punto que está en el interior del Intervalo. Si existe , entonces COROLARIO: Sí es un mínimo de , entonces , Siempre que exista la derivada NOTA: Es importante hacer notar que debe ser un punto interior al intervalo, puesto que , definida en Tiene un máximo en y un mínimo en y además en todo punto del intervalo

15 x y 1 2 es un mínimo de es un máximo de

16 APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES
Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simultánea: Función Creciente, Función Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo, Concavidad hacia arriba, Concavidad hacia abajo y punto de inflexión en la función. Analizando el comportamiento de la función se tiene, sí: es un máximo o un mínimo concavidad Punto de inflexión de la función, cambio de concavidad

17 Entonces: 1) es un máximo relativo de la función en 2) es un mínimo relativo de en 3) tiene un punto de inflexión en NOTA 1: Los puntos donde tiene un máximo, un mínimo y un punto de inflexión se llaman puntos críticos de la función. NOTA 2: No siempre cuando la función tiene un punto extremo (máximo o mínimo).

18 Ej: Estudie y grafique la función
Dominio de existencia: Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Puntos extremos -1 1

19 Sí es creciente es decreciente es creciente

20 Concavidad: Punto de inflexión Sí es cóncava hacia abajo es cóncava hacia arriba Ahora: y tiene un máximo, su valor tiene un mínimo, su valor

21 Así la gráfica resulta:
x y -1 1 5 -3