Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro.

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1 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 1 Tema 1 1.Números reales 2.Números complejos 3.Función real de variable real 4.Límite y continuidad 5.Derivabilidad 6.Concavidad-convexidad 7.Gráficas de funciones 8.Integral de Riemann. 9.Integral impropia

2 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 2 Números reales Los números mas usuales son los enteros: 0,±1,±2,±3,… Llamamos números racionales a los que tienen la forma a/b, donde a y b son enteros con b≠0. Se caracterizan porque tienen una expresión decimal periódica. Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal no es periódica. Al conjunto que resulta de unir los racionales con los irracionales le llamamos conjunto de los números reales y lo representamos por R, se suelen representar en una recta, que llamarémos recta real, de tal forma que a cada número real le corresponde un punto de la recta y a la inversa.

3 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 3 Podemos separar los números reales distintos de cero en dos conjuntos disjuntos: los números reales positivos y los números reales negativos. Se definen en R las operaciones usuales: suma y producto. Los números reales se pueden ordenar mediante la relación <, que se define de la forma: Números reales

4 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 4 Propiedades de la relación de orden : 1. Si a y b son números, una y solo una de las siguientes afirmaciones es cierta: 2. Si 3. 4. Si c es positivo,Si c es negativo Números reales

5 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 5 La relación de orden “≤” se define de forma análoga a “<“, poniendo: Las propiedades de la relación ≤ son las mismas que las de la relación “<“ Números reales

6 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 6 El valor absoluto de un número real es un concepto de frecuente utilización en cálculo. Si x es un número real, su valor absoluto |x| se define así: Números reales Valor absoluto

7 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 7 Propiedades del valor absoluto 1. |xy| = |x| |y| 2. |x/y| = |x| / |y| 3. |x+y| ≤ |x| + |y| 4. |x-y| ≥ | |x| -|y| | 5. |x| < a  -a < x < a 6. |x| > a  x a 7. |x|= Números reales

8 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 8 Algunas de estas propiedades son útiles en la resolución de inecuaciones (desigualdades con incógnitas). Ejemplo. Un vaso cilíndrico de 500 centímetros cúbicos tiene un radio interno de 4 centímetros.¿Con qué precisión debemos medir la altura h del agua en el vaso para asegurar que tenemos ½ litro de agua con un error de menos de 5 centímetros cúbicos. Solución: El volumen V del agua en el vaso es V=16πh. Queremos que: |V-500|<5 o lo que es igual: |16  h-500|<5  |16  (h-500/16  )|<5  16  |h- 500/16  |<5  |h-500/16  |< 5/16   |h-9.947|< 0.0947≈0.1. Luego, se debe medir la altura con una precisión de un milímetro. Números reales

9 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 9 Intervalos Definición de intervalo: Un subconjunto I de números reales es un intervalo, si dados x, y  I con x < y; para todo z que verifica x < y < z, se tiene que z  I. Definición de intervalos acotados: Siendo a, b  R se define (a, b)={x Є R /a < x < b } intervalo abierto [a, b]={x Є R /a ≤ x ≤ b } intervalo cerrado (a, b]={x Є R /a < x ≤ b } intervalo semiabierto o semicerrado [a, b)={x Є R /a ≤ x < b } intervalo semiabierto o semicerrado Números reales

10 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 10 Números reales

11 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 11 Definición de intervalos no acotados o semirrectas: Si a  R definimos (a, ∞) = { x Є R / x > a } [a, ∞) = { x Є R / x ≥ a } (-∞, a) = { x Є R / x < a } (-∞, a] = { x Є R / x ≤ a } Luego se puede escribir R = (-∞, ∞) Números reales

12 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 12 Definición de conjuntos acotados 1)Un subconjunto A de R se dice que está acotado superiormente si para cualquier x de A se cumple x ≤ M, para algún M  R. Se dice que M es una cota superior de A. 2)Un subconjunto A de R se dice que está acotado inferiormente si para cualquier x de A se cumple m ≤ x, para algún m  R. Se dice que m es una cota inferior de A. 3)Un subconjunto A de R se dice que está acotado si para cualquier x de A se cumple |x| ≤ M, para algún M  R. Se dice que M es una cota de A. 4)Luego A está acotado sí y sólo sí lo está superior e inferiormente. Números reales

13 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 13 Números complejos

14 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 14 Números complejos Y X P(a,b)   b a o Forma polar:  

15 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 15 Números complejos Paso de polar a binómica

16 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 16 Números complejos Paso de binómica a polar

17 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 17 Números complejos

18 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 18 Números complejos Igualdad entre complejos. Suma y producto

19 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 19 Números complejos Restar y dividir

20 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 20 Números complejos

21 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 21 Números complejos Conjugado de un número complejo

22 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 22 Números complejos Propiedades del módulo:

23 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 23 Números complejos Uso del conjugado para dividir

24 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 24 Números complejos Multiplicación y división en forma polar

25 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 25 Números complejos Potencias de números complejos

26 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 26 Números complejos

27 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 27 Números complejos Raíz cuadrada en forma binómica

28 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 28 Números complejos

29 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 29 Números complejos

30 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 30 Función real de una variable real Definición de: función, dominio e imagen

31 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 31 Función real de una variable real Im f Dom f Gráfica y = f(x) Y X

32 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 32 Función real de una variable real Monotonía: crecimiento, decrecimiento

33 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 33 Función real de una variable real Ejemplo de crecimiento-decrecimiento Creciente en B Decreciente en C B C Y X

34 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 34 Definición: función par e impar Función real de una variable real

35 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 35 Función real de una variable real Función par Función impar Ejemplos

36 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 36 Función real de una variable real Definicion de función acotada

37 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 37 Función real de una variable real Acotada inferiormente No acotada superiormente Función acotada Ejemplos

38 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 38 Función real de una variable real Función periódica El período es 2π Definición de función periódica

39 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 39 Función real de una variable real Definición de inversa de una función

40 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 40 Función real de una variable real Gráficas de funciones inversas y=e x y=log x y=x

41 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 41 Función real de una variable real Definición de función elemental: ejemplos

42 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 42 Función real de una variable real Ejemplos de funciones elementales

43 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 43 Función real de una variable real y=cosh xy=senh x Gráficas de coseno y seno hiperbólicos

44 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 44 Función real de una variable real Funciones inversas de las hiperbólicas

45 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 45 Límite y continuidad Definición de límite

46 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 46 Límite y continuidad l l+  l-  aa+  a-  y x y=f(x) Límite

47 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 47 Límite y continuidad Límites

48 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 48 Límite y continuidad Límites

49 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 49 Límite y continuidad Asíntotas

50 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 50 Límite y continuidad Asíntotas

51 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 51 Límite y continuidad X=2 es una asíntota vertical de Tanto a la izquierda como a la derecha. Ejemplo

52 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 52 Límite y continuidad x=-3, es una asíntota vertical de Ejemplo

53 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 53 Límite y continuidad x=5, es una asíntota vertical de Ejemplo

54 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 54 Límite y continuidad y=2, es una asíntota horizontal de f(x) Ejemplo

55 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 55 Límite y continuidad y=0, es una asíntota horizontal x=5,es una asíntota vertical Ejemplo

56 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 56 Límite y continuidad Asíntotas

57 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 57 Límite y continuidad y = 2x+1,es una asíntota oblicua de f(x) x = -3, es una asíntota Vertical de f(x) Ejemplo

58 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 58 Límite y continuidad Límites

59 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 59 Límite y continuidad Infinitos e infinitésimos

60 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 60 Límite y continuidad Infinitos e infinitésimos

61 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 61 Límite y continuidad Infinitos e infinitésimos (ejemplo) x 2 es un infinito de orden superior a x para x x 2 es un infinitésimo de orden superior a x para x

62 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 62 Límite y continuidad Infinitos e infinitésimos

63 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 63 Límite y continuidad azúl:x x amarilla: e x roja: x verde: log x Infinitos para x

64 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 64 Límite y continuidad Infinitos e infinitésimos

65 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 65 Límite y continuidad Funciones equivalentes

66 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 66 Límite y continuidad Funciones equivalentes

67 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 67 Límite y continuidad Funciones equivalentes

68 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 68 Límite y continuidad Funciones equivalentes

69 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 69 Límite y continuidad Continuidad

70 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 70 Límite y continuidad Continuidad

71 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 71 Límite y continuidad Continuidad

72 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 72 Límite y continuidad Continuidad

73 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 73 Límite y continuidad Continuidad y = x+3

74 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 74 Límite y continuidad Continuidad y = e 1/x

75 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 75 Límite y continuidad Continuidad y = e 1/x sen(1/x)

76 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 76 Límite y continuidad Continuidad

77 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 77 Límite y continuidad Continuidad f(c) = f(d) =f(e) = 0 y = f(x)

78 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 78 Límite y continuidad Continuidad ab f(a) f(b) y x

79 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 79 Límite y continuidad Continuidad a b M m m f(x) m es una cota inferior de f(x) en [a, b] M es una cota superior de f(x) en [a, b] M

80 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 80 Límite y continuidad Continuidad f(x 1 ) f(x 2 ) ab y = f(x) y x f(x) alcanza en x 1 y x 2 el mínimo y el máximo absolutos, respectivamente, en [a, b]

81 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 81 Derivabilidad Derivadas

82 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 82 Derivabilidad Derivadas

83 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 83 Derivabilidad Derivadas f´(a) = tg  tg  tg , cuando h 0 tg  =(f(a+h)-f(a))/h aa + h B y = f(x)  y x f(a) f(a+h) A

84 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 84 Derivabilidad Derivadas y = f(x)  /2 A Normal en A Tangente en A y x

85 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 85 Derivabilidad Derivada infinita y =

86 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 86 Derivadas Derivabilidad

87 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 87 Derivabilidad Derivadas

88 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 88 Derivabilidad Derivadas y = |x 2 -4|

89 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 89 Derivabilidad Derivadas

90 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 90 Derivabilidad Derivadas

91 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 91 Derivabilidad Derivadas

92 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 92 Derivabilidad Derivadas

93 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 93 Derivabilidad Derivadas

94 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 94 Derivabilidad Derivadas

95 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 95 Derivabilidad Derivadas (en forma implícita)

96 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 96 Derivabilidad Derivadas (en forma implicita)

97 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 97 Derivabilidad Derivadas (derivación sucesiva)

98 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 98 Derivabilidad Derivadas

99 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 99 Derivabilidad Derivadas

100 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 100 Derivabilidad Derivadas y = |x| y = (x-3) 3 + 2 No existe f´(0) En x= 3, hay punto de inflexión con tangente horizontal: f´(3) =0

101 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 101 Derivabilidad Derivadas c1c1 c2c2 y = f(x) a b f´(c 1 ) = f´(c 2 ) = 0, pues, (c 1, f(c 1 )) y (c 2,f(c 2 )) son Puntos con tangente horizontal y x f(a) = f(b)

102 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 102 Derivabilidad Derivadas tg  = f´(c) = a b f(a) f(b)  c y x A B

103 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 103 Derivabilidad Derivadas

104 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 104 Derivabilidad Derivadas

105 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 105 Derivabilidad Derivadas

106 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 106 Derivabilidad Derivadas

107 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 107 Derivabilidad Extremos

108 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 108 Derivabilidad Extremos

109 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 109 Derivabilidad Extremos f´(x)>0 f´(x)<0) abc No existe f´(c). En x=c hay max. relativo f es creciente en (a, c) f es decreciente en (c, b) f´(x)<0 f´(x)>0 acb f es decreciente en (a, c) f es creciente en (c, b) Existe f´(c). En x = c hay min. Relativo.

110 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 110 Derivabilidad Extremos

111 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 111 Concavidad-convexidad Conceptos: a a Cóncava en x = a Convexa en x = a

112 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 112 Punto de Inflexión a y x A la izquierda de x = a es convexa y a la derecha es cóncava (a, f(a)) es un punto de inflexión Concavidad-convexidad

113 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 113 Concavidad-convexidad Concavidad, convexidad en un intervalo. ab ab f es cóncava en (a, b) f es convexa en (a, b)

114 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 114 Concavidad-convexidad y = (x-2) 4 + 5 y´´ = 12(x-2) 2 0, y = -(x-2) 4 + 5 y´´ = -12(x-2) 2 0, f = (x-2) 4 +5, es cóncava en R f = -(x-2) 4 +5, es cóncava en R

115 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 115 Gráficas de funciones Representación gráfica

116 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 116 Gráficas de funciones Representación gráfica

117 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 117 Integral de Riemann Integral Indefinida: Primitivas

118 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 118 Integral de Riemann Integral Indefinida: Primitivas

119 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 119 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integrales inmediatas

120 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 120 Integral de Riemann Integral Indefinida: Propiedades

121 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 121 Integral de Riemann Integral Indefinida: Cálculo de Primitivas

122 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 122 Integral de Riemann Integral Indefinida: Cálculo de Primitivas

123 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 123 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

124 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 124 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

125 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 125 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

126 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 126 Integral de Riemann Integral Indefinida:Integración de funciones racionales

127 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 127 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

128 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 128 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

129 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 129 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

130 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 130 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

131 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 131 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

132 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 132 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

133 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 133 Integral de Riemann Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

134 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 134 Integral de Riemann y x x = ax = b y = f(x)

135 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 135 Integral de Riemann Integral Definida: Partición ax1x1 x2x2 X n-1 b… y x

136 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 136 Integral de Riemann Integral Definida: Suma de Riemann S(P, f) es una suma de áreas de rectángulos que aproxima el área de la región limitada por: y = f(x), x = a, x = b y el eje OX. a 11 x1x1 22 x2x2 X n-1 b nn y x y = f(x) …

137 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 137 Integral de Riemann Integral Definida: Definición

138 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 138 Integral de Riemann Integral Definida: Propiedades

139 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 139 Integral de Riemann Integral Definida: Teoremas fundamentales

140 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 140 Integral de Riemann Integral Definida: Teoremas fundamentales

141 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 141 Integral de Riemann Integral Definida: Teoremas fundamentales

142 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 142 Integral de Riemann Integral Definida: Teoremas fundamentales

143 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 143 Integral de Riemann Integral Definida: Aplicaciones geométricas

144 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 144 Integral de Riemann Integral Definida: Aplicaciones geométricas

145 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 145 Integral de Riemann Integral Definida: Aplicaciones geométricas

146 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 146 Integral de Riemann Integral Definida: Aplicaciones geométricas y = x 4 - 4x 3 + x 2 + 6x + 2 y = x 3 – x 2 - 2x + 2 Gráficas de las funciones

147 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 147 Integral de Riemann Integral Definida: Aplicaciones geométricas

148 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 148 Integral de Riemann Integral Definida: Aplicaciones geométricas

149 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 149 Integral Impropia: Introducción

150 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 150 Integrales impropias en intervalos no acotados (o con límites de integración infinitos) Integral Impropia

151 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 151 Interpretación geométrica Integral Impropia

152 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 152 Definición Integral Impropia

153 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 153 Integral Impropia

154 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 154 y = sen x Integral Impropia

155 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 155 Interpretación geométrica Si I es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y =f(x), x = b y el eje OX, coincide con el valor de la integral. Si J es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y =f(x), x = a y el eje OX, coincide con el valor de la integral. b y = f(x) y x a y = g(x) y x Integral Impropia

156 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 156 Interpretación geométrica Si I es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y = f(x) y el eje OY, coincide con el valor de la integral. y = f(x) y x Integral Impropia

157 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 157 Integrales Impropias con integrando infinito (no acotado) Integral Impropia

158 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 158 Definición Integral Impropia

159 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 159 Interpretación geométrica Si I es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por x = a, y = f(x), la asíntota x = b y el eje OX coincide con el valor de la integral Si J es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por x = b, y = f(x), la asíntota x = a y el eje OX coincide con el valor de la integral y = f(x) ab y x y = g(x) a b y x Integral Impropia

160 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 160 Interpretación geométrica Si I y J son convergentes entonces las sumas de las áreas de las regiones (no acotadas) definidas por: 1) y = f(x), x = a y la asíntota x = c; 2) y = f(x), x = b y x = c, vale I+J 1 2 y x a c b Integral Impropia

161 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 161 Ejemplo I representa el área de la región (no acotada) definida por: y x = 0, la asíntota x = 2, y el eje OX Integral Impropia

162 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 162 Ejemplo 3 Integral Impropia

163 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 163 Ejemplo 1 Integral Impropia

164 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 164 Ejemplo 1 Integral Impropia

165 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 165 Integral Impropia

166 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 166 Integral Impropia: De tercera especie Integral Impropia

167 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 167 Integral Impropia

168 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 168 Integral Impropia

169 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 1: Conceptos básicos José R. Narro 169 Integral Impropia