Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto.

Presentación del tema: "Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto."— Transcripción de la presentación:

1 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto.

2 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 2 Habilidades Define el concepto de continuidad de una función en un punto. Explica con sus palabras que se entiende por continuidad desde la izquierda y desde la derecha y en un intervalo. Aplica los teoremas sobre funciones continuas para establecer la continuidad de funciones sencillas. Reconoce la continuidad en su dominio natural de las funciones más empleadas. Explicar con sus palabras el teorema de valor intermedio para funciones continuas. Clasifica las discontinuidades mediante la observación de la gráfica, o mediante el análisis de sus expresiones analíticas.

3 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 3 Motivación En la sesión anterior, se estableció que si f es un polinomio ó una función racional y a está en el dominio de f, entonces ¿Son estás las únicas funciones que cumplen con esta propiedad? Será posible crear una clase que agrupe ha un conjunto más amplios de funciones y se cumpla que

4 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 4 Definición Una función f es continua en un número a si Es decir: existe 23 Nota: Si f no es continua en a decimos que es discontinua en a f(a) existe 1

5 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 5 Ejemplo 1 En la figura se muestra la gráfica de una función. ¿En qué puntos es discontinua? Justifique su respuesta. 5 x y y = f(x) 1234

6 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 6 Discontinuidad evitable o removible a x y y = f(x) existe

7 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 7 Discontinuidad por salto existe y Discontinuidad por salto a x y = f(x)

8 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 8 Discontinuidad infinita y Discontinuidad infinita a x y = f(x) Uno o ambos límites laterales infinitos.

9 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 9 Ejemplo 2 ¿En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

10 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 10 Ejemplo 2 ¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

11 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 11 Ejemplo 2 ¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

12 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 12 Ejemplo 2 ¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

13 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 13 Ejemplo 2 ¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

14 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 14 Continuidad lateral Una función f es continua por la derecha o desde la derecha de a si Una función f es continua por la izquierda o desde la izquierda de a si )()(limafxf ax   

15 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 15 Continuidad en un intervalo f es continua para todo x(a, b). f es continua en (a, b) y por la derecha de a. f es continua en (a, b) y por la izquierda de b. f continua en (a, b) f continua en [a, b) f continua en (a, b] f continua en [a, b] f es continua en (a, b), por la derecha de a y por la izquierda de b.

16 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 16 Ejemplo Analice la continuidad de la función en los siguientes intervalos: [a,b], (b,c] y en [a,c] a b c f x y

17 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 17 Operaciones con funciones continuas Si f y g son continuas en a, entonces también son continuas en a: f + g f - g f.g cf c: constante

18 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 18 Funciones continuas importantes Son continuas en todo número de su dominio: polinomios funciones racionales funciones raíz funciones trigonométricas funciones trigonométricas inversas funciones exponenciales funciones logarítmicas

19 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 19 Límite y continuidad de funciones compuestas Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces Si f es continua en b y, entonces: es continua en a.

20 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 20 Teorema del valor intermedio Sea f continua en [a, b] y N un número estrictamente entre f(a) y f(b). Entonces existe (al menos) un número c en (a, b) tal que f(c) = N. N c a x y = f(x) f(a)f(a) f(b)f(b) b

21 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 21 Ejercicio 3, Pág. 128 -4 -2 24 x 6 y

22 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 22 Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Secciones 2.5, páginas 119 - 130