Ecuaciones diferenciales de Primer Orden.

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1 Ecuaciones diferenciales de Primer Orden.

2 Habilidades Representar una situación real como una ecuación diferencial. Utilizar la terminología asociada con las ecuaciones diferenciales. Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables.

3 Introducción a las Ecuaciones diferenciales
¿Qué de común tienen las siguientes situaciones? El seguimiento de la rapidez con la que llegan a manifestar el sida los pacientes con VIH positivo. . La rapidez con la cual se deshielan los glaciares por el calentamiento terrestre. . La rapidez con la cual aumenta una población . La antigüedad de un fósil. Cada una de ellas se formulan matemáticamente mediante las ecuaciones diferenciales. De igual modo se pueden presentar situaciones en biología, economía, química, etc.

4 Introducción a las Ecuaciones diferenciales
Crecimiento poblacional Se considera que en condiciones de ambiente y suministro alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una población es proporcional al tamaño presente de dicha población. Sea A la población inicial. Ecuación diferencial que modela: Función de crecimiento poblacional:

5 Ecuaciones diferenciales
Definición Una ecuación diferencial es aquella que contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas. El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente a la derivada de orden más alto que se tenga en la ecuación. Una función f es una solución de una ecuación diferencial, si ésta se cumple cuando se sustituyen y = f (x) y sus derivadas en ella, para todos los valores de x en algún intervalo I. Resolver una ecuación diferencial es hallar todas las soluciones de ella; es decir, hallar la solución general de ella.

6 Ecuaciones diferenciales
Resolver un problema con valor inicial es hallar una solución de una ecuación diferencial que cumpla una condición inicial, y (x0) = y0. Forma general La forma general de una ecuación diferencial de primer orden es:

7 Campos direccionales Trace la grafica de la solución del problema de valor inicial

8 Campos direccionales Sea y ’ = F(x; y) una ecuación diferencial de primer orden, donde F(x; y) es una expresión de x y y. La ecuación diferencial dice que la pendiente de una curva solución en un punto (x; y) sobre la curva es F(x; y). Si se dibujan segmentos de recta cortos con pendientes F(x; y) en varios puntos (x; y), el resultado se llama campo direccional (0 campo de pendientes). Estos segmentos de recta indican la dirección en la que apunta una curva solución, así que el campo direccional ayuda a ver la forma general de estas curvas.

9 Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones de variables separables Una ecuación diferencial de variables separables es una ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar como: o también como: si g(y) 0.

10 Ecuaciones diferenciales
Resolución de ecuaciones separables Escribimos la ecuación separable en forma diferencial: o también como: si g(y) 0. según sea el caso. Luego integramos, con respecto a y en el lado izquierdo y con respecto a x en el lado derecho.

11 Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart
Ejercicios y 9.3