Funciones compuestas La regla de la cadena Ejemplos Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena

Recordatorio de funciones compuestas Sean f y g dos funciones. Definición Obsérvese que se puede definir la función compuesta f o g mediante la expresión anterior siempre que la imagen de g esté contenida en el dominio de la función f. Ejemplo Eje-x Eje-y Eje-w Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena

Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena La derivada Definición Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena 3

Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena Definición Sean y = f(x), ∆x = x – x0, ∆y = y – y0 = f(x) – f(x0). La función f es diferenciable en x = x0 si existe un número a, llamado la diferencial de f en x = x0 y una función  tal que ∆y = a ∆x + ∆x (∆x ) y (∆x )  0 cuando ∆x  0. Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La regla de la cadena por M. Seppälä

Derivabilidad y diferenciabilidad Teorema Una función f es diferenciable en x = x0 si y sólo si f es derivable en x = x0. La diferencial a de f en x = x0 es el valor de la derivada de f en x = x0. Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena

Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena Ejemplo Hallar la derivada de la función h(x) = sen(x2 + 1). Solución La función h es una función compuesta, h = f ◦ g, con f(y) = sen(y) y g(x) = x2 + 1. Se tiene: f’(y) = cos(y) y g’(x) = 2x. Por lo tanto, mediante la Regla de la cadena, h’(x) = f’(g(x))g’(x) = cos(x2+1)2x. Para evitar confusión, escribimos la derivada h’(x)= 2x cos(x2 + 1). Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena

Demostración de la Regla de la Cadena D(f(g(x))) = f’(g(x))g’(x). La Regla de la Cadena Suponiendo que g es diferenciable en x0 y f en v0 = g(x0) se tiene f(v) – f(v0) = f’(v0)v + v f (v ) g(x) – g(x0) = g’(x0)x + x g (x ). Demostración v = Sustituyendo v = g(x), v0 = g(x0), y v = g(x) – g(x0) to obtenemos v = f(g(x)) – f(g(x0)) = f’(g(x0))(g’(x0)x + x g (x )) + (g’(x0)x + x g (x )) f (g(x) – g(x0) ) Reordenando = f’(g(x0))g’(x0)x +x (f’(g(x0))g(x )+(g’(x0)+g(x ))f (g(x)–g(x0) ) fg (x) = Y se obtiene la regla de la cadena, pues fg (x)  0 cuando x  0 Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena

Una nota para la demostración Regla de la cadena D(f(g(x))) = f’(g(x))g’(x). A modo de justificación Esto sólo es correcto si suponemos que g(x + h) – g(x)  0. Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena

Utilización de la regla de la cadena repetidamente Ejemplo Hallar la derivada de la función w(x) = esen(cos(x)). Solución La función w es una función compuesta, w = f ◦ g ◦ h, con f(y) = ey, g(u) = sen u y h(x) = cos x. Aplicando dos veces la regla de la cadena obtenemos: D(w)(x) = D(f ◦ g ◦ h)(x) = f’(g ◦ h(x))D(g ◦ h)(x) = f’(g ◦ h(x)) g’(h(x))h’(x). Debido a que f’(y) = ey, g’( u ) = cos u, y h’(x) = – sen x, obtenemos: D(f ◦ g ◦ h)( x ) = –sen( x ) cos(sen( x )) esen(cos(x)). Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena

Resumen de las derivadas Derivada de la constante D(constante) = 0 1 Regla de identidad 2 D(sen x) = cos x Derivada de una constante por una función D(c f) = c D(f) 3 D(cos x) = –sen x Derivada de la suma 4 Derivada del producto 5 D(ex) = ex Derivada del cociente Regla de la cadena D(f(g(x)) = f’(g(x))g’(x) Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/ La regla de la cadena

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä