El Teorema del valor medio Propiedades básicas Teorema de Rolle revisado El Teorema del valor medio Corolarios del Teorema del valor medio Teorema del valor medio

Teorema del valor medio Propiedades básicas Recordemos la primera regla de diferenciación 1 La derivada de una función constante es 0: D(c) = 0. Los próximos resultados se obtienen inmediatamente a partir de la definición de la derivada: 2 Supongamos que f es derivable y creciente. Entonces f’(x) ≥ 0 para todo x. Nosotros queremos trabajar con las implicaciones en sentido. Probaremos (trabajando en un INTERVALO): 3 Si f’(x) = 0 para todo x, entonces f es una función constante. 4 Si f’(x) > 0 para todo x, f es creciente. Probaremos 3 y 4 mediante el Teorema del valor medio, que es un poderoso resultado sobre funciones diferenciables. Teorema del valor medio

Teorema del valor medio Teorema de Rolle Nuestro punto de inicio es: Sea f una función tal que: f es continua en el intervalo cerrado [a,b], f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f se anula, es decir, f’(c) = 0. Teorema Teorema de Rolle gráficamente El Teorema de Rolle afirma que, si f(a) = f(b), entonces existe un punto c entre a y b tal que la tangente a la gráfica de f en (c,f(c)) es horizontal. a c b Teorema del valor medio

El Teorema del valor medio Sea f una función continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Entonces existe un punto c  (a,b) tal que f(b) – f(a) = f’(c) (b – a). Teorema El Teorema del valor medio gráficamente a c b El teorema también se puede escribir como f’(c) = (f(b) – f(a) )/ (b – a). Por lo tanto el Teorema del valor medio asegura que entre a y b existe un punto c tal que la tangente a la gráfica de f en (c, f(c)) es paralela al segmento que une los puntos(a,f(a)) y (b,f(b)). Teorema del valor medio

El Teorema del valor medio Sea f una función continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Entonces existe un punto c  (a,b) tal que f(b) – f(a) = f’(c) (b – a). Teorema Prueba Se considera la función Claramente g es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Verifica: g(a) = f(a), y g(b) = f(b) + (b – a)(f(a) – f(b))/(b – a)= f(a) = g(a). Podemos concluir que g cumple las condiciones del teorema de Rolle. Teorema del valor medio

El Teorema del valor medio Sea f una función continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Entonces existe un punto c  (a,b) tal que f(b) – f(a) = f’(c) (b – a). Teorema Prueba (continuación) El teorema de Rolle aplicado a la función nos dice que existe un número c tal que g’(c) = 0. Por lo tanto 0 = g’(c) = f’(c) + (f(a) – f(b))/(b – a). Por tanto queda demostrado el Teorema del Valor Medio. Teorema del valor medio

Corolario del Teorema del Valor Medio Supongamos que una función f es diferenciable en el intervalo abierto (a,b). Si f’(x) = 0 para todo x  (a,b), entonces f es una función constante. Prueba Por el el Teorema del Valor Medio:  x1 y x2 , a < x1  x2 < b,  c  (x1, x2 ) tal que f(x2 ) – f(x1) = f’(c) (x2 – x1). Como por hipótesis f’(c) =0 se tiene que f(x2) = f(x1), es decir, f es una función constante. Teorema del valor medio

Teorema del valor medio Funciones crecientes Teorema Supongamos que la función f es siempre diferenciable en el intervalo abierto (a,b), y que f´(x) > 0 para todo x  (a,b). Entonces f es creciente en (a,b). Prueba Sea x1 < x2. Tenemos que demostrar que f(x1) < f(x2). Por el Teorema del valor medio,  c  ( x1, x2) tal que f(x2) – f(x1) = f’(c) (x2 – x1). Como por hipótesis f’(c) > 0 también f’(c)(x2 – x1) > 0, y por tanto f(x2) – f(x1) > 0. Esto implica que f(x1) < f(x2). Teorema del valor medio

Funciones crecientes (2) Nota La condición “f’(x) > 0 para todo x” del teorema anterior puede ser menos estricta: es suficiente que f’(x) > 0 para todo x excepto para un número finito de valores de x. y=x3 Ejemplo La función f(x) = x3 es estrictamente creciente aunque la derivada f’(x) = 3x2 toma el valor 0 para x = 0. Teorema del valor medio

Funciones decrecientes Teorema Supongamos que una función f es diferenciables en el intervalo abierto (a,b), y que f´(x) < 0 para todo x  (a,b). Entonces f es decreciente en (a,b). Prueba Podíamos repetir el proceso del teorema anterior. Sin embargo, es más fácil ver que si f’(x) < 0 para todo x, entonces la derivada de la función g(x) = –f(x) es positiva para todo x. Por lo tanto g cumple las condiciones del teorema anterior. Consecuentemente g es creciente. Así pues f = –g es decreciente. Teorema del valor medio

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä