Matemáticas 2º Bachillerato CS MATEMÁTICAS A. CS II Tema 11 * PROBABILIDADES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Teorema de bayes Tema 11.5 * 2º B CS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS TEOREMA DE BAYES Si A1, A2, A3, … es un sistema completo de sucesos, y B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces las probabilidades de la forma P(Ai / B) se calculan mediante la expresión: P(Ai).P(B / Ai) P(Ai / B) = ------------------------------------------------------------------------- P(A1).P(B / A1) + P(A2).P(B / A2) + … + P(An).P(B / An) Donde P(Ai) son las probabilidades a priori. P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori. P(B / Ai) son las verosimilitudes. Ejemplo_1: En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas.. Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en la localidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Resolución Probabilidades a priori: P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6  Sea chica. P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4  Sea chico. Probabilidades a posteriori: P(A / L) = 85% = 85 / 100 = 0,85  Sea chica y viva en la loc. P(O / L)= 70% = 70 / 100 = 0,7  Sea chico y viva en la loc. Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes P(O).P(L / O) 0,4 . 0,7 0,28 P(O / L) = --------------------------------------- = ---------------------------- = -------- = P(A).P(L / A) + P(O).P(L / O) 0,6 . 0,85 + 0,4 . 0,7 0,79 = 0,3544 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Resolución gráfica P(O)=0,4 P(A) = 0,6 P(NL / A)=0,15 P(L / O) = 0,7 P(NL / O) = 0,3 P(A).P(L/A) = 0,6.0,85 = 0,51 P(A).P(NL/A) = 0,6.0,15 = 0,09 P(O).P(L/O) = 0,4 . 0,7 = 0,28 P(O).P(NL/O) = 0,4.0,3 = 0,12 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejemplo_2: En una casa hay tres llaveros, A, B y C, con 5, 7 y 8 llaves respectivamente. Sólo una llave de cada llavero abre el trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se acierte con la llave?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el llavero escogido sea el C y la llave no abra?. c) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?. d) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al tercer llavero C?. RESOLUCIÓN Probabilidades a priori: P(A) = 1/3 = 0,3333  Sea el primer llavero. P(B) = 1/3 = 0,3333  Sea el segundo llavero. P(C) = 1/3 = 0,3333  Sea el tercer llavero. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Probabilidades a posteriori: P(A / L) = 1/5 = 0,20  Abra la llave del llavero A. P(B / L) = 1/7 = 0,1428  Abra la llave del llavero B. P(C / L) = 1/8 = 0,125  Abra la llave del llavero C. P(A / NL) = 4/5 = 0,80  No abra la llave del llavero A. P(B / NL) = 6/7 = 0,8572  No abra la llave del llavero B. P(C / NL) = 7/8 = 0,875  No abra la llave del llavero C. a) Probabilidad de acertar con la llave: P(L) = P(A).P(L/A) + P(B).P(L/B) + P(C).P(L/C) = = 0,3333.0,20 + 0,3333.0,1428 + 0,3333.0,125 = = 0,066667 + 0,047619 + 0,041667 = 0,155953 b) Probabilidad de que el llavero sea el C y la llave no abra: P(C / NL) = P(C) . P(NL/C) = 0,3333. 0,875 = 0,291667 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS c) Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero A: Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes P(A).P(L / A) P(A / L) = ---------------------------------------------------------- = P(A).P(L/ A) + P(B).P(L/ B) + P( C ).P(L/C) 0,3333. 0,20 = -------------------------------------------------------------------------- = 0,3333. 0,20 + 0,3333. 0,1428 + 0,3333. 0,125 = 0,066667 / ( 0,066667 + 0,047427 + 0,041667) = = 0,066667 / 0,155953 = 0,427479 d) Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero C: P(C).P(L / C) P(C / L) = ---------------------------------------------------------- = = 0,041667 / 0,155953 = 0,267176 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Resolución gráfica P(L)=1/5  P(A).P(L/A) = 1/3. 1/5 = 0,0667 P(NL)=4/5  P(A).P(NL/A) = 1/3.4/5 = 0,2667 P(L)=1/7  P(B).P(L/B) = 1/3. 1/7 = 0,0476 P(NL)=6/7  P(B).P(NL/B) = 1/3.6/7 = 0,2856 P(L)=1/8  P(C).P(L/C) = 1/3. 1/8 = 0,0416 P(NL)=7/8  P(C).P(NL/C) = 1/3. 7/8 = 0,2912 P(A)=1/3 P(B)=1/3 P(C)=1/3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Problemas propuestos APLICACIÓN 1 Un grupo de 7 amigos se juegan a los dados quien conducirá tras una tarde-noche de fiesta, y por tanto quien no deberá beber de cara al viaje de regreso sin accidente por medio. El que primero saque un siete no bebe y por tanto conduce. ¿Tiene ventaja quien empiece?. Halla la probabilidad de cada uno. Realiza una tabla de doble entrada y luego ayúdate con un diagrama de árbol. APLICACIÓN 2 En una urna opaca hay cuatro bolas blancas y una negra. Cuatro amigos, Ana, Bea, Carlos y Diego, deben sacar al azar una bola, sin reinsertarla en la urna después. El que saque la bola negra paga la consumición de todos. Ayúdate con un diagrama de árbol. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS