@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 DISTRIBUCIÓN NORMAL MATEMÁTICAS A. CS II Tema 13.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 DISTRIBUCIÓN NORMAL MATEMÁTICAS A. CS II Tema 13

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 APLICACIONES O PROBLEMAS DE LA NORMAL TEMA 13.5 * 2º B CS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 Problema_1 La media anual de días de sol en una ciudad es de 220, con una desviación típica de 35 días. Suponiendo una distribución normal calcular la probabilidad de que en un año no se superen los 200 días. Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(220, 35) en nuestro caso. Nos piden la probabilidad de: P(0 ≤ X ≤ 200 ) Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 0 – 220 200 – 220 Z = ---------------- = – 6,285 ; Z = -------------- = – 3,15 35 35 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (- 6,285 ≤ Z ≤ - 3,15 ) = = P (Z ≤ - 3,15 ) – P (Z ≤ - 6,285) = P (Z ≥ 3,15 ) – P (Z ≥ 6,285) = = 1 – P (Z ≤ 3,15 ) – (1 – P (Z ≤ 6,285) = 1 – 0,9992 – 1 + 1 = 0,0008

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 Problema_2 En una oposición se necesitan 30 puntos para aprobar. La media obtenida por los alumnos es de 28, con una desviación típica de 8. Suponiendo una distribución normal, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?. Si se han presentado 528 alumnos, ¿cuántos alumnos aprobarán?. Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(28, 8) en nuestro caso. Nos piden la probabilidad de: P(X ≥ 30 ) Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 30 – 28 Z = ------------- = 0,25 8 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: P (Z ≥ 0,25) = 1 – P (Z ≤ 0,25) = 1 – 0,5987 = 0,4013 Aprobarán: 528.0,4013 = 212 alumnos

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 Problema_3 En un examen de Matemáticas el 65% de los alumnos una puntuación igual o inferior a 6,5 puntos y el 10% de los alumnos puntuaciones superiores a 7 puntos. Sabiendo que la distribución de las puntuaciones es normal, calcular μ y σ. Solución P (X ≤ 6,5) = 0,65 P (X > 7) = 0,10 Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 6,5 - μ 7 - μ P(Z ≤ ----------) = 0,65 ; P(Z > ----------) = 0,10 σ σ Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: 6,5 - μ 7 - μ ---------- = 0,39 ; -------- = 1,28 σ σ

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 Resolviendo el sistema: 6,5 - μ 7 - μ ---------- = σ ; -------- = σ 0,39 1,28 8,32 – 1,28 μ = 2,73 – 0,39 μ 8,32 – 2,73 = (1,28 – 0,39). μ  μ = 5,59 / 0,89 = 6,28 7 - μ 7 – 6,28 σ = ------- = -------------- = 0,5625 1,28 1,28 … Solución

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS7 Problema_4 En una granja hay 250 vacas. Los pesos de las vacas se distribuyen normalmente con media 450 kg y desviación típica de 75 kg. ¿Cuántas pesan más de 500 kg?. ¿Cuántas pesan menos de 400 kg?. ¿Qué intervalo, centrado en 450 kg, contiene el 80% de las vacas?. Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(450, 75) en nuestro caso. Nos piden la probabilidad de: P(X > 500) y P(X < 400) Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 500 – 450 400 - 450 Z = ---------------- = 0,6666 ; Z = -------------- = – 0,6666 75 75 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: P (Z ≥ 0,67) = 1 – P (Z ≤ 0,67) = 1 – 0,7486 = 0,2514 P (Z ≤ - 0,66) = P (Z ≥ 0,66) = 1 – P (Z ≤ 0,66) =1 – 0,7454 = 0,2546

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS8 … Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(450, 75) en nuestro caso. Nos dan: P(450 – c ≤ X ≤ 450 + c) = 0,80 Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 450 + c – 450 450 – c – 450 Z = -------------------- = c / 75 ; Z = -------------------- = – c / 75 75 75 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: P (Z ≤ c/75) – P (Z ≤ - c/75) = P (Z ≤ c/75) – P (Z ≥ c/75) = = P (Z ≤ c/75) – ( 1 – P(Z ≤ c/75) ) = 2. P(Z ≤ c/75) – 1 = 0,8000 P(Z ≤ c/75) = (1+0,8)/2 = 0,90 Por las Tablas: c/75 = 1,28  c = 96 El 80% de las vacas tendrán un peso entre (450 – 96) kg y (450 + 96) kg