@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B1 PROBABILIDAD CONDICIONADA Y TOTAL Tema 16.4 * 4º ESO Opc B.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B1 PROBABILIDAD CONDICIONADA Y TOTAL Tema 16.4 * 4º ESO Opc B

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B2 Probabilidad COMPUESTA PROBABILIDAD COMPUESTA Muchos experimentos se componen de dos o más sucesos consecutivos. En ese caso se llama probabilidad compuesta al producto de probabilidades. Sea A el primer suceso y B el segundo. Habrá que distinguir dos posibles situaciones: 1.-Que los sucesos A y B sean independientes entre sí. Es decir, que la probabilidad de que suceda B no tenga nada que ver con el resultado de A. P(A ∩ B) = P(A).P(B) Ejemplo Al lanzar una moneda al aire y luego un dado, obtengamos Cara y un 5. P(C ∩ 5) = P(C).P(5) = (1/2).(1/6) = 1/12 = 0,0833 Puesto que el resultado del dado no depende del resultado de la moneda.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B3 PROBABILIDAD COMPUESTA 2.-Que los sucesos A y B sean dependientes entre sí. Es decir, que la probabilidad de que suceda B esté condicionada, dependa, del resultado de A. P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) Ejemplo Tenemos una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Extraemos dos bolas al azar, una a continuación de la otra. Hallar la probabilidad de las dos sean negras. Sea A=“Obtener una bola negra en la primera extracción” Sea B=“Obtener una bola negra en la segunda extracción” 2 1 2 1 P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) = -------- ------- = --- --- = 2/20 =1/10 = 0,10 2+3 1+3 5 4 En la segunda extracción, al suponer que ha resultado negra la primera bola, sólo tenemos una bola negra de las cuatro que quedan.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B4 EJEMPLO 1 En un IES el 35% son varones y el 65% restante mujeres. De los varones, el 25% estudia ESO y el resto Bachillerato. De las mujeres, el 55% estudia ESO y el resto Bachillerato. Se elige un alumno al azar. a)¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y estudie Bachillerato?. b)¿Cuál es la probabilidad de que sea varón y estudie ESO?. Tenemos: P(V) = 35% = 35/100 = 0,35 V M P(M) = 65% = 65/100 = 0,65 P(E/V) = 25% = 25/100 = 0,25 E 8,75% 35,75% P(B/V) = 75% = 75/100 = 0,75 P(E/M) = 55% = 55/100 = 0,55 B 26,25% 29,25% P(B/M) = 45% = 45/100 = 0,45 a)P(M ∩ B) = P(M). P(B/M) = 0,65.0,45 = 0,2925 b)P(V ∩ E) = P(V). P(E/V) = 0,35.0,25 = 0,0875 Probabilidad CONDICIONADA

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B5 EJEMPLO 2 Se considera el conjunto de todas las familias con tres hijos, halla la probabilidad de que seleccionada una familia al azar tenga: (A) Sólo dos niñas. (B)Al menos una niña. (C)Sólo una niña o sólo un niño. (D)Si se sabe que la familia tiene dos niñas, ¿qué probabilidad existe de que el otro hijo sea varón? RESOLUCIÓN Sea V el elemento del sexo varón y M el elemento del sexo mujer. Aplicamos el diagrama del árbol para hallar el espacio muestral. E = {(VVV), (VVM), (VMM), (MVV), (MVM), (MMV), (VMV), (MMM)} Diagrama del árbol 1º Hijo2º Hijo3º Hijo V VMVM V V V V V M V M VMVM V M V V M M V VMVM M V V M V M M M VMVM M M V M M M

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B6 Suponemos que las probabilidades del nacimiento de V o de M son idénticas, con lo cual los sucesos elementales son equiprobables, gracias a lo cual podemos aplicar la Regla de Laplace. P(A) = 3 / 8 Pues son 3 los casos favorables frente a los 8 casos posibles o totales. P(B)= 7 / 8 Pues P(B) = 1 - P(VVV), aplicando los sucesos contrarios. P(C)= 3 / 8 + 3 / 8 Pues P(C) = P(AUA) = P(A) + P(A) P(D) =3 / 4 En este caso estamos ante un suceso condicionado. P(un varón y dos niñas) 3 / 8 3 P(1 V / 2 M) = ------------------------------------- = -------- = ----- P(dos niñas como mínimo) 4 / 8 4

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B7 Ejemplo 3 En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. Se extraen dos bolas al azar sin reinserción. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? ¿Y de que una sea A y otra N?. RESOLUCIÓN Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} P(B∩N) = P(B).P(N/B) = 2/9. 4/8 = 8/72 = 1/9 = 0,1111 Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. P(A∩A) = P(A).P(A/A) = 3/9. 3/8 = 9/72 = 1/8 = 0,125 Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N/A) + P(N).P(A/N) = = 3/9. 4/8 + 4/9. 3/8 = 12/72 + 12/72 = 24/72 = 1/3 = 0,3333

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B8 Ejemplo 4 En una urna opaca hay 5 bolas Blancas, 3 Negras, 2 Rojas y 10 Verdes. Se extraen tres bolas al azar y sin reinserción. a)¿Cuál es la p. de que resulten en este orden: R  B  V?. b)¿Cuál es la p. de que las dos primeras sean B y la tercera R?. c)¿Cuál es la p. de que todas sean N?. d)¿Cuál es la p. de que ninguna sea Roja?. RESOLUCIÓN Espacio muestral: E={5xB, 3xN, 2xR, 10xV} a) P(R∩B∩V) = P(R).P(B).P(V) = 2/20. 5/19. 10/18 = 0,01462 b) P(B∩B∩R) = P(B).P(B).P(R) = 5/20. 4/19. 2/18 = 0,005848 c) P(N∩N∩N) = P(N).P(N).P(N) = 3/20. 2/19. 1/18 = 0,000874 d)_ _ _ _ _ _ P(R∩R∩R) = P(R).P(R).P(R) = 18/20. 17/19. 16/18 = 0,7158

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B9 Ejemplo 5 En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. Se extraen dos bolas al azar con reinserción. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? ¿Y de que una sea A y otra N?. RESOLUCIÓN Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9. 4/9 = 8/81 = 0,09876 Nota: Al extraer la segunda bola se ha devuelto la primera a la urna. No hay probabilidad condicionada. P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9. 3/9 = 9/81 = 1/9 = 0,1111 P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = = 3/9. 4/9 + 4/9. 3/9 = 12/81 + 12/81 = 24/81 = 8/27 = 0,2963

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B10 EJEMPLO 6 En una urna opaca, A, hay 2 bolas Blancas y 3 Negras. En otro urna opaca, B, hay 5 bolas Blancas y 4 Negras. Se extrae una bola de la urna A y luego otra de la B. a)¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean Blancas?. b)¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca y Negra, en ese orden?. c)¿Y de que sean de distinto color? 2/5 3/5 B N 5/9 4/9 B N 5/9 4/9 B N P(B∩B) = 2/5. 5/9 = 10 / 45 = 0,2222 (a) P(B∩N) = 2/5. 4/9 = 8 / 45 = 0,1778 (b) P(N∩B) = 3/5. 5/9 = 15 / 45 = 0,3333 P(N∩N) = 3/5. 4/9 = 12 / 45 = 0,2667 0,1778+0,3333 = 0,5111 (c)

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B11 EJEMPLO 7 En una urna opaca hay 3 bolas Blancas y 2 Negras. Se extrae una bola al azar. Si es Blanca se devuelve a la urna; pero si es Negra se devuelve a la urna una bola Blanca. Se extrae otra bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea Negra?. 3/5 2/5 B N 3/5 2/5 B N 4/5 1/5 B N P(B∩B) = 3/5. 3/5 = 9/25 = 0,36 P(B∩N) = 3/5. 2/5 = 5/25 = 0,20 P(N∩B) = 2/5. 4/5 = 8/25 = 0,32 P(N∩N) = 2/5. 1/5 = 2/25 = 0,08 Por la Regla de la suma: P(X∩N)= 0,20 + 0,08 = 0,28

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B12 DIAGRAMA DE ÁRBOL El uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. NORMAS 1.-Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento. 2.En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. 3.-Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama. 4.-Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas. Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es 1

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B13 PROBABILIDAD TOTAL Sea A1, A2, A3, … es un sistema completo de sucesos, o sea que se cumple: –Son incompatibles dos a dos. –La unión de todos ellos es el suceso seguro. Sea B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas: P(B / A1), P(B / A2), …, P(B / An) Entonces se cumple: P(B) = P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)+P(A3).P(B/A3)+ …+P(An).P(B/An) Si un suceso, B, se puede conseguir por más de un resultado de un experimento compuesto, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todos los sucesos que lo producen.

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B14 Ejemplo 1 En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas. Se elige un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad?. ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en la localidad?. Resolución: Probabilidades a priori: P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6  Sea chica. P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4  Sea chico. Verosimilitudes: P(L/A) = 85% = 85/100 = 0,85  Sea chica y viva en la localidad. P(L/O)= 70% = 70/100 = 0,7  Sea chico y viva en la localidad. P(NL/A) = 15% = 15/100 = 0,15  Sea chica y no viva en la local. P(NL/O)= 30% = 30/100 = 0,3  Sea chico y no viva en la local. P(L) = P(A).P(L/A) + P(O).P(L/O) = 0,6.0,85 + 0,4.0,7 = 0,51+0,28=0,79 P(NL) = P(A).P(NL/A) + P(O).P(NL/O) =0,6.0,15 + 0,4.0,3 = 0,09+0,12=0,21

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B15 Empleando el diagrama del árbol P(L/A)=0,850,6.0,85 = 0,51Chica y viva en L P(A)=0,6 P(NL/A)=0,150,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L P(L/O)=0,70,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en L P(O)=0,4 P(NL/O)=0,30,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L P(L) = 0,51 + 0,28 = 0,79 P(NL) = 0,09 + 0,12 = 0,21 Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.

16 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B16 Ejemplo 2 En la universidad, Ana, Beatriz y Carlos se alternan la tarea de tomar apuntes. En una semana toman 100, 150 y 250 páginas de apuntes respectivamente. Las páginas con errores son el 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma una página al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga errores?. ¿Y de que no? Resolución: Probabilidades a priori: P(A)= 100/(100+150+250)= 100/500 = 0,2  Sea de Ana P(B)= 150/(100+150+250)= 150/500 = 0,3  Sea de Beatriz P(C)= 250/(100+150+250)= 250/500 = 0,5  Sea de Carlos Verosimilitudes: P(E/A) = 5% = 5/100 = 0,05  Errores de Ana P(E/B) = 3% = 3/100 = 0,03  Errores de Beatriz P(E/C) = 2% = 2/100 = 0,02  Errores de Carlos P(E) = P(A).P(E/A) + P(B).P(E/B) + P(C).P(E/C) = = 0,2.0,05 + 0,3.0,03 + 0,5.0,02 = 0,01 + 0,009 + 0,01 = 0,029 P(NE) = 1 – P(E) = 1 – 0,029 = 0,971

17 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B17 Empleando el diagrama del árbol P(E/A)=0,050,2.0,05 = 0,01De Ana y con errores P(A)=0,2 P(NE/A)=0,950,2.0,95 = 0,19 De Ana y sin errores P(E/B)=0,030,3.0,03 = 0,009 De Bea y con errores P(B)=0,3 P(NE/B)=0,970,3.0,97= 0,291 De Bea y sin errores P(E/C)=0,020,5.0,02 = 0,01 De Carlos y con errores P(C)=0,5 P(NE/C)=0,980,5.0,98 = 0,49 De Carlos y sin errores P(E) = 0,01+0,009+0,01=0,029P(NE)=0,19+0,291+0,49=0,971