@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 Tema 1 * 4º ESO Opc B NÚMEROS REALES.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 Tema 1 * 4º ESO Opc B NÚMEROS REALES

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B2 Tema 1.12b * 4º ESO Opc B CAMBIO DE BASE

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B3 8.-El logaritmo de un número en una base cualquiera, a, es igual al logaritmo del mismo número en una base distinta, b, dividido por el logaritmo de la base, a, en base b. Sea y = log a x  a y = x Si dos expresiones son iguales, los logaritmos de ambas, en la misma base, también son iguales: log b a y = log b x  y. log b a = log b x Y despejando el valor de y tenemos: log b x log b x y = -----------  log a x = ---------- log b a log b a CAMBIO DE BASE

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B4 EJEMPLO 1 Hallar el valor de log 3 10 Al ser la base 3 no podemos calcular su valor directamente. log 3 10 = x  3 x = 10  Como 10 no es potencia de 3  Es obligado el cambio de base. 3 x = 10  Logaritmos decimales  log 3 x = log 10 x. log 3 = log 10  x = log 10 / log 3 = 1 / 0,477121 x = 2,095903  log 3 10 = 2,095903 En logaritmos, de cuatro a seis decimales.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B5 EJEMPLO 2 ¿Cuál es mayor, log 7 10 o log 5 7 ? Al ser las bases distintas, 5 y 7, no podemos comparar sus logaritmos. Al no ser ni logaritmos decimales ni neperianos, tampoco podemos calcular sus valores. Es obligado el cambio de base. log 7 10 = x  7 x = 10  log 7 x = log 10 log 5 7 = y  5 y = 7  log 5 y = log 7  x. log 7 = log 10  x = log 10 / log 7 = 1,183294  y. log 5 = log 7  y = log 7 / log 5 = 1,209061 Como y > x  log 5 7 > log 7 10

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B6 TEMA 1.12 * 4º ESO B INTERÉS COMPUESTO

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B7 En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo ( años, meses o días), el interés producido se suma al capital. En el primer año: Capital final = C + C.r = C.(1+ r) En el segundo año: Capital final = (C + C.r) + (C + C.r).r Sacando factor común a (C+C.r) Capital final = (C + C.r).(1+r) = C.(1+r).(1+r) = C.(1+r) 2 En el tercer año: Capital final = C.(1+r) 2 + C.(1+r) 2.r Sacando factor común a C.(1+r) 2 Capital final = C.(1+r) 2.(1+ r) = C.(1+ r) 3 Al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+ r) t Siendo (1+r) el número índice. INTERÉS COMPUESTO

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B8 Los capitales depositados a interés simple crecen de forma lineal o aritmética. C f = C o + C o.r.t = C o.(1 + r.t) C o = Capital inicial Por ejemplo, cada año 1000 € se incrementan en 50 €. Los capitales depositados a interés compuesto crecen de forma exponencial o geométrica. C f = C o.(1 + i) t C o = Capital inicial Por ejemplo, cada año 1000 € se incrementan sucesivamente en 60 €, en 67,5 €, en 73 €, etc. Comparación intereses 0 1 2 3 años CoCo

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B9 Ejemplo 1 Deposito en un banco 5.000 € a un interés (compuesto) del 5%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. En el primer año: Capital final = 5000 + 5000.0,05 = 5000.1,05 = 5250 En el segundo año: Capital final = 5250 + 5250.0,05 = 5512,5 En el tercer año: Capital final = 5512,5 + 5512,5.0,05 = 5688,025 Y así hasta el 10º año. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r) t Capital final = 5000.(1+0,05) 10 = 8144,47 €

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B10 Ejemplo 2 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r) t Capital final = 10000.(1+0,03) 10 = 13439,16 € Ejemplo 3 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 120 meses?. Utilizando la fórmula, al cabo de 120 meses tendremos: Capital final = C.(1+r) m Capital final = 10000.(1+3/1200) 120 = 10000.(1+0,0025) 120 = = 10000.1,349353 = 13493,53 €

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B11 Ejemplo_4 Ingresamos en un banco la cantidad de 20.000 € a un tipo de interés anual del 5 %.¿ Qué tiempo tiene que transcurrir para que se nos doble el capital?. Como es un proceso de capitalización acordamos no tocar los intereses producidos en cada periodo ( interés compuesto). Utilizando la fórmula, al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+r) t 40.000 = 20.000.(1+0,05) t Ecuación exponencial. 40000 / 20000 = (1,05) t  2 = (1,05) t Tomando LOGARITMOS DECIMALES, tenemos: log 2 = log (1,05) t  log 2 = t. log 1,05 Despejando t, ahora que ya no está en el exponente, tenemos: t = log 2 / log 1,05 = 0,301030 / 0,021189 = 14,20 años

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B12 Ejemplo_5 Un piso me ha costado 120.000 €. Cada año se revaloriza un 10%.¿Qué valdrá al cabo de 15 años. Utilizando la fórmula, al cabo de 15 años tendremos: Capital final = C.(1+r) t Capital final = 120.000.(1+0,1) 15 = = 120.000.(1,1) 15 = 120501.269 € 1,1 15 es el número índice, por el que tendremos que multiplicar la cantidad inicial para obtener la final. También: C = Primer término de una progresión geométrica. (1+ r) = La razón de una progresión geométrica. t = El exponente de la razón, (n – 1), de una progresión geométrica. C. final = El valor del último término de una progresión geométrica.