@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DISTRIBUCIÓN NORMAL Tema 15.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DISTRIBUCIÓN NORMAL Tema 15

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 CASOS PARTICULARES: PROBLEMAS INVERSOS Tema 15.4 * 1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 INTERVALOS PARA UNA PROBABILIDAD FIJADA En ocasiones lo que nos interesa no es calcular la probabilidad de que una variable se encuentre en un cierto intervalo, sino encontrar el intervalo de X para el cual la probabilidad nos viene ya fijada. Sea P(Z ≤ a) = p  Hallar a. Se nos pueden dar dos casos según el valor de p: Si p > 0,5 el valor de a se obtiene directamente por las Tablas. Si p < 0,5 el valor de a no aparece en las Tablas. Se utiliza la expresión: 1 – p = P(Z ≤ – a ) Con las Tablas se buscaría – a, y el valor de a sería el opuesto

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Ejemplo 1 Caso de p > 0,5 Intervalo (-oo, a)  (– 4, a) P(Z ≤ a) = 0,9099 Por Tablas: a = 1,34 -3 -2 a -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 a 2 3 Ejemplo 2 Caso de p ≤ 0,5 Intervalo (-oo, a)  (– 4, a) 1 – 0,0901 = P(Z ≤ – a ) 0,9099 = P(Z ≤ – a ) Por Tablas: – a = 1,34  a = – 1,34

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Ejemplo 3 Dado en una distribución N(0, 1) P( – 1 ≤ Z ≤ a) = 0,8297 Hallar el valor de a, interpolando en la tabla si fuera necesario. -3 -2 -1 0 1 2 a 3 Resolución Estamos en el caso de hallar un intervalo ( – 1, a) de una distribución normal tipificada donde p > 0,5 P( – 1 ≤ Z ≤ a) = P( Z ≤ a) – P ( Z ≤ – 1) = P( Z ≤ a) – P ( Z ≥ 1) = = P( Z ≤ a) – ( 1 – P( Z ≤ 1) = P( Z ≤ a) – 1 + 0,8413 Resolviendo: 0,8297 = P( Z ≤ a) – 0,1587 De donde P( Z ≤ a) = 0,9884 Y buscando en las tablas: a = 2,27

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Ejemplo 4 Dado en una distribución N(0, 1) P( a ≤ Z ≤ – 1,75) = 0,0073 Hallar el valor de a, interpolando en la tabla si fuera necesario. -3 a -2 -1 0 1 2 3 Resolución Estamos en el caso de hallar un intervalo ( a, – 1,75) de una N(0,1) p = 0,0073 = P( a ≤ Z ≤ – 1,75) = P( Z ≤ – 1,75) – P ( Z ≤ a) ; 0,0073 = P( Z ≥ 1,75) – P ( Z ≤ a) = 1 – P( Z ≤ 1,75) – P( Z ≤ a ) 0,0073 = 1 – 0,9599 – P( Z ≤ a) De donde P( Z ≤ a) = 0,0328  Como es p ≤ 0,5 1 – p = P(Z ≤ – a )  0,9672 = P(Z ≤ – a )  – a = 1,8414 Buscando en las tablas e interpolando: – a = 1,8414  a = – 1,8414

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Ejemplo 4 Dado en una distribución N(0, 1) P( – 1 ≤ Z ≤ a ) = 0,8000 Hallar el valor de a, interpolando en la tabla si fuera necesario. -3 - 2 -1 0 1 a 3 Resolución Estamos en el caso de hallar un intervalo ( – 1, a) de una distribución normal tipificada donde p > 0,5 p = 0,8000 = P( – 1 ≤ Z ≤ a) = P( Z ≤ a) – P( Z ≤ – 1) ; 0,8000 = P( Z ≤ a) – P( Z ≥ 1) = P( Z ≤ a) – ( 1 – P( Z ≤ 1) 0,8000 = P( Z ≤ a) – 1 + 0,8413 De donde P( Z ≤ a) = 0,9587  Buscando en las tablas a = 1,73 Interpolando para precisar mejor: a = 1,735

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 APLICACIONES A LAS CIENCIAS SOCIALES Tema 15.6 * 1º BCS

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Problema_1 La media anual de días de sol en una ciudad es de 220, con una desviación típica de 35 días. Suponiendo una distribución normal calcular la probabilidad de que en un año no se superen los 200 días. Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(220, 35) en nuestro caso. Nos piden la probabilidad de: P(0 ≤ X ≤ 200 ) Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 0 – 220 200 – 220 Z = ---------------- = – 6,285 ; Z = -------------- = – 3,15 35 35 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (- 6,285 ≤ Z ≤ - 3,15 ) = = P (Z ≤ - 3,15 ) – P (Z ≤ - 6,285) = P (Z ≥ 3,15 ) – P (Z ≥ 6,285) = = 1 – P (Z ≤ 3,15 ) – (1 – P (Z ≤ 6,285) = 1 – 0,9992 – 1 + 1 = 0,0008

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Problema_2 En una oposición se necesitan 30 puntos para aprobar. La media obtenida por los alumnos es de 28, con una desviación típica de 8. Suponiendo una distribución normal, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?. Si se han presentado 528 alumnos, ¿cuántos alumnos aprobarán?. Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(28, 8) en nuestro caso. Nos piden la probabilidad de: P(X ≥ 30 ) Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 30 – 28 Z = ------------- = 0,25 8 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: P (Z ≥ 0,25) = 1 – P (Z ≤ 0,25) = 1 – 0,5987 = 0,4013 Aprobarán: 528.0,4013 = 212 alumnos

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Problema_3 En un examen de Matemáticas el 65% de los alumnos una puntuación igual o inferior a 6,5 puntos y el 10% de los alumnos puntuaciones superiores a 7 puntos. Sabiendo que la distribución de las puntuaciones es normal, calcular μ y σ. Solución P (X ≤ 6,5) = 0,65 P (X > 7) = 0,10 Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 6,5 - μ 7 - μ P(Z ≤ ----------) = 0,65 ; P(Z > ----------) = 0,10 σ σ Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: 6,5 - μ 7 - μ ---------- = 0,39 ; -------- = 1,28 σ σ

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 Resolviendo el sistema: 6,5 - μ 7 - μ ---------- = σ ; -------- = σ 0,39 1,28 8,32 – 1,28 μ = 2,73 – 0,39 μ 8,32 – 2,73 = (1,28 – 0,39). μ  μ = 5,59 / 0,89 = 6,28 7 - μ 7 – 6,28 σ = ------- = -------------- = 0,5625 1,28 1,28

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 Problema_4 En una granja hay 250 vacas. Los pesos de las vacas se distribuyen normalmente con media 450 kg y desviación típica de 75 kg. ¿Cuántas pesan más de 500 kg?. ¿Cuántas pesan menos de 400 kg?. ¿Qué intervalo, centrado en 450 kg, contiene el 80% de las vacas?. Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(450, 75) en nuestro caso. Nos piden la probabilidad de: P(X > 500) y P(X < 400) Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 500 – 450 400 - 450 Z = ---------------- = 0,6666 ; Z = -------------- = – 0,6666 75 75 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: P (Z ≥ 0,67) = 1 – P (Z ≤ 0,67) = 1 – 0,7486 = 0,2514 P (Z ≤ - 0,66) = P (Z ≥ 0,66) = 1 – P (Z ≤ 0,66) =1 – 0,7454 = 0,2546

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 … Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(450, 75) en nuestro caso. Nos dan: P(450 – c ≤ X ≤ 450 + c) = 0,80 Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 450 + c – 450 450 – c – 450 Z = -------------------- = c / 75 ; Z = -------------------- = – c / 75 75 75 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: P (Z ≤ c/75) – P (Z ≤ - c/75) = P (Z ≤ c/75) – P (Z ≥ c/75) = = P (Z ≤ c/75) – ( 1 – P(Z ≤ c/75) ) = 2. P(Z ≤ c/75) – 1 = 0,8000 P(Z ≤ c/75) = (1+0,8)/2 = 0,90 Por las Tablas: c/75 = 1,28  c = 96 El 80% de las vacas tendrán un peso entre (450 – 96) kg y (450 + 96) kg