@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 PROBABILIDAD U.D. 13 * 1º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 PROBABILIDAD U.D. 13 * 1º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 PROBABILIDAD TOTAL U.D. 13.9 * 1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Diagrama del árbol DIAGRAMA DE ÁRBOL Al igual que ocurría en Combinatoria, el uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. Para componer un diagrama de árbol seguiremos las siguientes normas: Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento. En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama. Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas. Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es uno.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 EJEMPLO 1 En una urna opaca, A, hay 2 bolas Blancas y 3 Negras. En otro urna opaca, B, hay 5 bolas Blancas y 4 Negras. Se extrae una bola de la urna A y luego otra de la B. a)¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean Blancas?. b)¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca y Negra, en ese orden?. c)¿Y de que sean de distinto color? 2/5 3/5 B N 5/9 4/9 B N 5/9 4/9 B N P(B∩B) = 2/5. 5/9 = 10 / 45 = 0,2222 (a) P(B∩N) = 2/5. 4/9 = 8 / 45 = 0,1778 (b) P(N∩B) = 3/5. 5/9 = 15 / 45 = 0,3333 P(N∩N) = 3/5. 4/9 = 12 / 45 = 0,2667 0,1778+0,3333 = 0,5111 (c)

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 EJEMPLO 2 En una urna opaca hay 3 bolas Blancas y 2 Negras. Se extrae una bola al azar. Si es Blanca se devuelve a la urna; pero si es Negra se devuelve a la urna una bola Blanca. Se extrae otra bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea Negra?. 3/5 2/5 B N 3/5 2/5 B N 4/5 1/5 B N P(B∩B) = 3/5. 3/5 = 9/25 = 0,36 P(B∩N) = 3/5. 2/5 = 5/25 = 0,20 P(N∩B) = 2/5. 4/5 = 8/25 = 0,32 P(N∩N) = 2/5. 1/5 = 2/25 = 0,08 Por la Regla de la suma: P(X∩N)= 0,20 + 0,08 = 0,28

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 PROBABILIDAD TOTAL Sea A1, A2, A3, … un sistema completo de sucesos. Se cumple: –S–Son incompatibles entre sí. –L–La unión de todos ellos es el suceso seguro. Sea B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas: P(B / A1), P(B / A2), …, P(B / An) Entonces se cumple: P(B) = P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)+P(A3).P(B/A3)+…+P(An).P(B/An) Si un suceso, B, se puede conseguir por más de un resultado de un experimento compuesto, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todos los sucesos que lo producen.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Ejemplo 1 En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas. Se elige un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad?. ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en la localidad?. Ejemplo 2 En la universidad, Ana, Beatriz y Carlos se alternan la tarea de tomar apuntes. En una semana toman 100, 150 y 250 páginas de apuntes respectivamente. Las páginas con errores son el 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma una página al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga errores?. ¿Y de que no? Enunciados Ejemplos 1 y 2

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 EJEMPLO 1 Empleando el diagrama del árbol P(L/A)=0,850,6.0,85= 0,51Chica y viva en L P(A)=0,6 P(NL/A)=0,150,6.0,15= 0,09 Chica y no viva en L P(L/O)=0,70,4.0,7= 0,28 Chico y viva en L P(O)=0,4 P(NL/O)=0,30,4.0,3= 0,12 Chico y no viva en L P(L) = 0,51 + 0,28 = 0,79 P(NL) = 0,09 + 0,12 = 0,21 Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 EJEMPLO 2 Empleando el diagrama del árbol P(E/A)=0,050,2.0,05= 0,01De Ana y con errores P(A)=0,2 P(NE/A)=0,950,2.0,95= 0,19 De Ana y sin errores P(E/B)=0,030,3.0,03= 0,009 De Bea y con errores P(B)=0,3 P(NE/B)=0,970,3.0,97= 0,291 De Bea y sin errores P(E/C)=0,020,5.0,02= 0,01 De Carlos y con errores P(C)=0,5 P(NE/C)=0,980,5.0,98= 0,49 De Carlos y sin errores P(E) = 0,01+0,009+0,01=0,029P(NE)=0,19+0,291+0,49=0,971

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 UN PAR DE APLICACIONES

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 PROBLEMAS PROPUESTOS APLICACIÓN 1 Un grupo de 7 amigos se juegan a los dados quien conducirá tras una tarde-noche de fiesta, y por tanto quien no deberá beber de cara al viaje de regreso sin accidente por medio. El que primero saque un siete no bebe y por tanto conduce. ¿Tiene ventaja quien empiece?. Halla la probabilidad de cada uno. Realiza una tabla de doble entrada y luego ayúdate con un diagrama de árbol. APLICACIÓN 2 En una urna opaca hay cuatro bolas blancas y una negra. Cuatro amigos, Ana, Bea, Carlos y Diego, deben sacar al azar una bola, sin reinsertarla en la urna después. El que saque la bola negra paga la consumición de todos. ¿Tiene ventaja quien empiece?. Halla la probabilidad de cada uno. Ayúdate con un diagrama de árbol.

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 SOLUCIONES PROBLEMAS PROPUESTOS APLICACIÓN 1 P(A) = 1/6 = 0,1666667 de que saque un 7 y le toque no beber. P(B) = (5/6).(1/6) = 0,138888 P(C) = (5/6) 2.(1/6) = 0,1157407 P(D) = (5/6) 3.(1/6) = 0,09645 P(E) = (5/6) 4.(1/6) = 0,080375 P(F) = (5/6) 5.(1/6) = 0,06698 P(G) = (5/6) 6.(1/6) = 0,05581 Tiene clara desventaja quien comience. APLICACIÓN 2 P(A) = 1/5 = 0,2 de que pague la consumición. P(B) = (4/5).(1/5) = 0,8.0,2 = 0,16 P(C) = (4/5) 2.(1/5) = 0,64.0,2 = 0,128 P(D) = (4/5) 3.(1/5) = 0,512.0,2 = 0,1024 Tiene una pequeña desventaja quien comience.