@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES TEMA 13.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES TEMA 13

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 PROBABILIDAD CONDICIONADA TEMA 13.6*1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Probabilidad CONDICIONADA La probabilidad de un suceso A puede verse modificada si ha ocurrido previamente otro B. Para recoger esta influencia entre los sucesos se define la probabilidad de A condicionada por B, y se escribe P(A/B). Así, en el lanzamiento de dos dados, si se sabe que se han sacado puntuaciones pares (suceso B), la probabilidad de que ambas sean iguales (suceso A) se obtiene teniendo en cuenta que ahora son 9 los casos posibles y 3 los favorables, o sea: P untuaciones pares e iguales 3 1 P(A/B) = -------------------------------------------- = ------ = ---- Puntuaciones pares 9 3 Definiéndose en general la probabilidad condicionada de un suceso A por otro B como el cociente: P(A ∩ B) P(A ∩ B) P(A/B) = -------------- o P(B/A) = ------------ P(B) P(A) Según el suceso B condicione al A o viceversa. Y siempre P(B)<>0, o P(A)<>0

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Ejemplo 1 En un IES el 35% son varones y el 65% restante mujeres. De los varones, el 25% estudia ESO y el resto Bachillerato. De las mujeres, el 55% estudia ESO y el resto Bachillerato. Se elige un alumno al azar. a)¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y estudie Bachillerato?. b)¿Cuál es la probabilidad de que sea varón y estudie ESO?. Tenemos: P(V) = 35% = 35/100 = 0,35 V M P(M) = 65% = 65/100 = 0,65 P(E/V) = 25% = 25/100 = 0,25 E 8,75% 35,75% P(B/V) = 75% = 75/100 = 0,75 P(E/M) = 55% = 55/100 = 0,55 B 26,25% 29,25% P(B/M) = 45% = 45/100 = 0,45 a)P(M ∩ B) = P(M). P(B/M) = 0,65.0,45 = 0,2925 b)P(V ∩ E) = P(V). P(E/V) = 0,35.0,25 = 0,0875

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Ejemplo 2 En una fiesta de cumpleaños el 20 % son adultos (A), el 30% son niños (V) y el resto niñas (M). El 5%, 10 % y 25% respectivamente tienen el color de cabello rubio. Se elige una persona al azar. a)¿Cuál es la probabilidad de que sea adulto rubio?. b)¿Cuál es la probabilidad de que sea un niño no rubio?. c)¿Cuál es la probabilidad de que sea una niña rubia?. Resolución: Probabilidades simplesProbabilidades condicionadas P(A) = 20% = 20 / 100 = 0,20  P(R/A)= 5% = 0,05  P(R¯/A) = 95% =0,95 P(V) = 30% = 30 / 100 = 0,30  P(R/V)= 10% = 0,10  P(R¯/V) = 90% =0,90 P(M) = 50% = 50 /100 = 0,50  P(R/M)= 25% = 0,25  P(R¯/M) = 75% =0,75

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Resolución: a)¿Cuál es la probabilidad de que sea adulto rubio?. P(A ∩ R) = P(A). P(R/A) = 0,20.0,05 = 0,01 b)¿Cuál es la probabilidad de que sea un niño no rubio?. P(V ∩ R ¯ ) = P(V). P(R ¯ /V) = 0,30.0,90 = 0,27 c)¿Cuál es la probabilidad de que sea una niña rubia?. P(M ∩ R) = P(M). P(R/M) = 0,50.0,25 = 0,125 Si en lugar de porcentajes nos hubieran dado los cardinales, no hubiera hecho falta aplicar la probabilidad condicionada. Veamos los resultados tabulados: A V M R 1% 3% 12,5% R ¯ 19% 27% 3 7,5% Podemos completar la tabla de resultados sin necesidad de calcular las probabilidades: 20 – 1 =19 ; 30 – 27 = 3 ; 50 – 12,5 = 37,5

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 PROBABILIDAD COMPUESTA TEMA 13.7*1º BCS

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 Son el resultado de combinar dos o más experimentos aleatorios. Ejemplos: Lanzar dos monedas al aire. Lanzar tres dados al aire. Extraer dos bolas consecutivas de una urna. Extraer tres bolas a la vez de una misma urna. Pueden darse dos casos muy importantes: Extracciones CON REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído se devuelva donde estaba tras mirar el resultado, antes de la siguiente extracción. Un caso particular, pero muy importante, es reemplazar el objeto extraído por otro de distinta modalidad (color, número, etc). Extracciones SIN REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído NO se devuelva donde estaba tras mirar el resultado, antes de la siguiente extracción. Un caso particular, pero muy importante, es cuando se realizan todas las extracciones a la vez, en cuyo caso no podemos hablar de orden en los resultados. EXPERIMENTOS COMPUESTOS

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Dos o más experiencias son independientes cuando el resultado de una de ellas no dependen del resultado de las demás. Ejemplos: Lanzamiento de monedas, lanzamientos de dados, extracciones con reemplazamiento. Dos o más experiencias son dependientes cuando el resultado de una de ellas influye en el resultado de las demás. En este caso debemos hablar de probabilidad CONDICIONADA. Ejemplos: Extraer dos cartas de una baraja sin reemplamiento, extraer dos bolas de una urna sin reemplamiento, extraer una carta de una baraja y luego una bola de la urna A o de la B según sea la carta extraída. PROBABILIDAD COMPUESTA

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Ejemplo 1 Al lanzar una moneda al aire y luego un dado, obtengamos Cara y un 5. P(C ∩ 5) = P(C).P(5) = (1/2).(1/6) = 1/12 = 0,0833 Puesto que el resultado del dado no depende del resultado de la moneda. Ejemplo 2 Tenemos una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Extraemos dos bolas al azar, una a continuación de la otra. Hallar la probabilidad de las dos sean negras. Sea A=“Obtener una bola negra en la primera extracción” Sea B=“Obtener una bola negra en la segunda extracción” 2 1 2 1 P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) = -------- ------- = --- --- = 2/20 =1/10 = 0,10 2+3 1+3 5 4 En la segunda extracción, al suponer que ha resultado negra la primera bola, sólo tenemos una bola negra de las cuatro que quedan.

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Ejemplo 3 Se lanza al aire dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces?. ¿Y de obtener una cara y una cruz?. Espacio muestral: E={CC, CX, XC, XX}, vemos que se pueden producir cuatro sucesos o fenómenos. P(CC) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 También: P(C∩C)=P(C).P(C)=0,5.0,5 = 0,25 P(XX) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 También: P(X∩X)=P(X).P(X)=0,5.0,5 = 0,25 P(CCUXX) = Sf/Sp = 2/4 = 0,5 También: P(CCUXX)=P(CC)+P(XX)=0,25+0,25 = 0,5

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 Ejemplo 4 Se lanza al aire dos dados exagonales. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma un doce?. ¿Y de obtener un doble? ¿Y de obtener un 7 como suma? ¿Y de no obtener un 4? Espacio muestral: E={36 sucesos posibles} P(S=12) = Sf/Sp = 1/36 = 0,0277 P(Doble) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 P(S=7) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 _ P(S=4 ) = 1 – P(S=4) = 1 – 3/36 = 1 – 0,0833 = = 0,9167 123456 1234567 2345678 3456789 456789 10 56789 11 6789 101112

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 Ejemplo 5 En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. Se extraen dos bolas al azar sin reinserción. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? ¿Y de que una sea A y otra N?. Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9. 4/8 = 8/72 = 1/9 = 0,1111 Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9. 3/8 = 9/72 = 1/8 = 0,125 Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = = 3/9. 4/8 + 4/9. 3/8 = 12/72 + 12/72 = 24/72 = 1/3 = 0,3333

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 Ejemplo 6 En una urna opaca hay 5 bolas Blancas, 3 Negras, 2 Rojas y 10 Verdes. Se extraen tres bolas al azar y sin reinserción. a)¿Cuál es la p. de que resulten en este orden: R  B  V?. b)¿Cuál es la p. de que las dos primeras sean B y la tercera R?. c)¿Cuál es la p. de que todas sean N?. d)¿Cuál es la p. de que ninguna sea Roja?. Espacio muestral: E={5xB, 3xN, 2xR, 10xV} a) P(R∩B∩V) = P(R).P(B).P(V) = 2/20. 5/19. 10/18 = 0,01462 b) P(B∩B∩R) = P(B).P(B).P(R) = 5/20. 4/19. 2/18 = 0,005848 c) P(N∩N∩N) = P(N).P(N).P(N) = 3/20. 2/19. 1/18 = 0,000874 d)_ _ _ _ _ _ P(R∩R∩R) = P(R).P(R).P(R) = 18/20. 17/19. 16/18 = 0,7158

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I15 Ejemplo 7 En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. Se extraen dos bolas al azar con reinserción. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? ¿Y de que una sea A y otra N?. Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9. 4/9 = 8/81 = 0,09876 Nota: Al extraer la segunda bola se ha devuelto la primera a la urna. P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9. 3/9 = 9/81 = 1/9 = 0,1111 P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = = 3/9. 4/9 + 4/9. 3/9 = 12/81 + 12/81 = 24/81 = 8/27 = 0,2963