@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 PROBABILIDAD U. D. 13 * 4º ESO E. AC.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 PROBABILIDAD U. D. 13 * 4º ESO E. AC.

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 REGLA DE LAPLACE U. D. 13.2 * 4º ESO E. AC.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 Operaciones con sucesos La UNIÓN de dos sucesos A y B, AUB, es el suceso que consiste en que se cumpla, al menos, uno de los dos. En los enunciados suele venir “ … se cumpla A o B …” Y el resultado suele ser una suma de probabilidades. La INTERSECCIÓN de dos sucesos A y B, A∩B, es el suceso consistente en que se cumplan A y B a la vez. En los enunciados suele venir “ … se cumpla A y B …” Y el resultado suele ser un producto de probabilidades. La DIFERENCIA de dos sucesos A y B, A – B, es el suceso que consiste en que se cumpla A pero no se cumpla B. Un ejemplo puede ser “ … tal que sean pares no múltiplos de 5” Y el resultado suele ser una resta de probabilidades.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 LEY DE LAPLACE La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. casos favorables P(A) = ------------------------------------ casos posibles o totales Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la misma probabilidad de que sucedan. Ejemplo 1: Lanzamiento de una moneda al aire. Casos posibles o totales E = {C, X}  2 Casos favorables al suceso “Salir una cara” {C}  1 P(A) = P(de que nos resulte cara) = casos favorables / casos posibles =1 / 2 = 0,5

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 Ejemplo 2: Lanzamiento de un dado al aire. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6 Casos favorables al suceso “Salir par” {2, 4, 6}  3 P(A) = P(de que nos resulte par) = = casos favorables / casos posibles = 3 / 6 = 0,5 Ejemplo 3: Extracción de una carta de baraja. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 Casos favorables al suceso “Resulta un rey” {RO,RC,RB,RE}  4 P(A) = P(de que nos resulte un rey) = = casos favorables / casos posibles = 4 / 40 = 0,1 Más ejemplos simples

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 Ejemplo 4: Extracción de una carta de baraja. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 Casos favorables al suceso “Resulta una carta de copas”  10 P(A) = P(de que nos resulte una copa) = = casos favorables / casos posibles = 10 / 40 = 0,25 Ejemplo 5: Extracción de una bola de una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras. Casos posibles o totales E = {B1, B2, B3, B4, B5, N1, N2, N3}  8 Casos favorables al suceso “Resulta blanca” {B1, B2, B3, B4, B5}  5 P(A) = P(de que nos resulte una bola blanca) = = casos favorables / casos posibles = 5 / 8 = 0,625 Más ejemplos simples

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 Valor de la probabilidad P(Suceso imposible) = 0 Axioma 1P(Suceso seguro) = P(E) = 1 Axioma 2P(Cualquier suceso) = P(A) ≥ 0 Luego la probabilidad de cualquier suceso A será siempre: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Ejemplos: Sea A el suceso “Obtener un 7 en el lanzamiento de un dado normal” Como es un suceso imposible, entonces P(A) = 0 Sea A el suceso “Obtener un número entero en el lanzamiento de un dado” Como es un suceso seguro, entonces P(A) = 1 Sea A el suceso “Obtener un número múltiplo de 3 en el lanzamiento de un dado normal” Por Laplace: P(A = 2 / 6 = 1/3 = 0,3333. Vemos que 0 ≤ 0,3333 ≤ 1

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 AXIOMA 3Si A y B son sucesos incompatibles ( no se pueden dar a la vez ) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades. Si A∩B = ø  P(A U B) = P(A)+P(B) Ejemplo Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una copa. P(A U B) = P(A)+P(B) = (10/40)+(10/40) = 0,25+0,25 = 0,5 Por el contrario, si A y B son sucesos compatibles (se pueden dar a la vez) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades menos el producto de las mismas. Si A∩B ≠ ø  P(A U B) = P(A)+P(B) - P(A).P(B) Ejemplo Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una figura. P(AUB) = P(A)+P(B) - P(A).P(B) = (10/40)+(12/40) - (10/40).(12/40) = = 0,25+0,30 – 0,25.0,3 = 0,55 – 0,075 = 0,475 De otra manera, para comprobar: P(AUB) = (10+9)/40 = 19/40 = 0,475

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 Cuando en un experimento aleatorio sólo hay dos posibilidades o dos sucesos posibles, que se excluyen mutuamente, se los llama sucesos contrarios. En una moneda, lo contrario de resultar Cara es resultar Cruz. En un dado, lo contrario de resultar Par es resultar Impar. En un dado lo contrario de resultar un 5 es no resultar un 5. Todos los experimentos aleatorios los podemos expresar como espacio muestral de dos únicos sucesos: El que interesa y el contrario. _ _ Como P(A) + P( A ) = 1 ; P( A ) = 1 – P(A) Ejemplo: Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 o que no sea un 5. P(5) = 1 / 6 = 0,1667 _ P(5) = 1 – 1/6 = 5 / 6 = 0,8333 Sucesos contrarios

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.10 A una reunión asisten 100 diplomáticos de todos los continentes de la forma que ser muestra en las siguiente tabla de contingencia: Hallar la probabilidad de que, elegida una persona al azar, ésta … a) Sea una mujer africana. b) No sea una mujer africana. c) Sea americana. d) No sea americana. e) Sea un hombre europeo o americano. f) No sea un hombre europeo o americano. Resolvemos por Laplace, suponiendo que todas las personas tienen la misma probabilidad der resultar elegidas. Ejemplo múltiple EuropaAsiaÁfricaAméricaOceanía Hombres141013101360 Mujeres165210740 3015 20 100

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.11 Resolución a) P(A) = P(Sea una mujer africana). P(A) = 2 / 100 = 0,02 = 2% b) P(No sea una mujer africana). P(A¯) = 1 – P(A) = 1 – 0,02 = 0,98 = 98% c) P(B) = P(Sea americana). P(B) = (10+10)/100 = 20/100 = 0,2 = 20% d) P(No sea americana). P(B¯) = 1 – P(B) = 1 – 0,20 = 0,80 = 80% e) P(C) = P(Sea un hombre europeo o americano). P(C) = (14+10)/100 = 24/100 = 0,24 = 24% f) P(No sea un hombre europeo o americano). P(C¯) = 1 – P(C) = 1 – 0,24 = 0,76 = 76% EuropaAsiaÁfricaAméricaOceanía Hombres141013101360 Mujeres165210740 3015 20 100