@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 LÍMITES Y CONTINUIDAD U.D. 7 * 1º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 LÍMITES Y CONTINUIDAD U.D. 7 * 1º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 APLICACIONES DE LÍMITES U.D. 7.7 * 1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Indeterminada [1 oo ] Sabemos que 1 k = 1 siempre. Sabemos que k oo = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con 1 oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [ 1 oo ] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello sabemos que siempre el resultado va a ser e λ, con lo cual sólo queda calcular λ λ = Lím ( base – 1 ). exponente x  a Y el límite sería, si le hay : L = e λ

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Sea la sucesión n 1 1 + ----, donde n es un número natural n Para n = 1, el término de la sucesión vale: (1+1) 1 = 2 Para n = 2, el término de la sucesión vale: (1+0,5) 2 = 2,25 ………………………………………………………………………… Para n = 100, el término de la sucesión vale: (1+0,01) 100 = 2,7048 Para n = 1000, el término de la sucesión vale: (1+0,001) 1000 = 2,7169 Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. Si hallamos su limite en el infinito: 1 n oo λ 1 n L = lím ( 1 + --- ) = 1 = e, donde λ = lím (1 + ---- – 1).n = --- = 1 n  oo n n  oo n n λ 1 Luego L = e = e = e El número e

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 3 / (x-1) 3 / 0 x + 1 2 λ lím ------ ‑‑ = ‑ --- = [1 oo ] = Indeterminación = e x  1 2 2 λ = lím (base – 1 ). Exp x + 1 3 (x + 1 - 2).3 (x-1).3 λ = lím ( --------- - 1 ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím ---------------- = --------- = 3/2 x  1 2 x - 1 2 ( x - 1) (x -1).2 3/2 L = e Ejemplo 1

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 (x 2 -1) /x [oo / oo] x + 1 oo λ lím ------ ‑‑ = ----- = … = [1 oo ] = Indet = e x  oo x oo λ = lím (base – 1 ). exp x + 1 (x 2 -1) x 2 - 1 oo λ = lím ( -------- - 1 ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím ---------- = [------ ] = … = 1 x  oo x x x  oo x 2 oo 1 L = e = e H ay que resolver las indet. [oo/oo]. Ejemplo 2

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 (x – 4) oo oo x + 1 oo 1 lím ------ ‑‑ = ----- = ---- = 0 x  oo 2.x oo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 (x – 4)/x [oo/oo] 1 3.x + 1 oo 3 lím -------- ‑‑ = ----- = ---- = 3 / 2 = 1,5 x  oo 2.x oo 2

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 EJEMPLO 1 Un estudio realizado nos indica la relación que hay entre el número de p.p.m. de un alumno al estudiar mecanografía y el número de clases impartidas. La función resultante es: f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases a)En primer lugar averigua el número de horas de academia que debes pagar para asegurarte tener 120 ppm; para 240; para 300; y para llegar a las 350. b)Haz ahora una tabla de valores para obtener las ppm en función del número de horas de academia. No te olvides dar a la variable “x” los cuatro valores obtenidos antes. c)Analiza las ppm obtenidas en los mayores valores dados a “x”. Incluso puedes dar algún valor más, ampliar la tabla. ¿Qué pasa con dichos valores ?. d)Calcula el límite de la función cuando x  oo, o sea cuando toma valores muy grandes. Posiblemente te dé un valor finito. ¿Qué significa? e)Construye la Gráfica para visualizar mejor la función. ¿Lo ves?. Coméntalo. Aplicaciones de funciones

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 RESOLUCIÓN f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases a)Calculamos el número de horas necesarias: 120 = [350.(x+1)] / (x+20)  120.(x+20) = 350.x+350 120.x+2400 = 350.x+350  2050 = 230.x  x = 9 horas. 240 = [350.(x+1)] / (x+20)  240.(x+20) = 350.x+350 240.x+4800 = 350.x+350  4450 = 110.x  x = 40 horas. 300 = [350.(x+1)] / (x+20)  300.(x+20) = 350.x+350 300.x+6000 = 350.x+350  5650 = 50.x  x = 130 horas. 350 = [350.(x+1)] / (x+20)  350.(x+20) = 350.x+350 350.x+7000 = 350.x+350  6650 = 0.x  x = Error (oo horas). b)Tabla de valores: Horas– 20092440130oo– 153 Ppmoo17´5120200240300350400

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 RESOLUCIÓN c) Análisis: Vemos que para obtener 350 ppm necesitaríamos infinitas horas. Y además, lo que es absurdo, al pretender pasar de 350 ppm el número de horas es negativo. d) ¿Significa que nunca podemos llegar a las 350 ppm?. Veamos que no, pues hay una asíntota horizontal que nos lo impide. y = lím 350 x / (x + 10) = [oo / oo] = Dividiendo todo entre x  x  oo y = lim 350 / ( 1 + 10/x) = 350 / 1 = 350 x  oo Y como todo límite, su valor nunca puede ser alcanzado por f(x). Horas– 20092440130oo– 153 Ppmoo17´5120200240300350400

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 -10 0 10 20 30 40 Tiempo en horas de clase 350 35 Nº de pulsaciones por minuto Parte de la gráfica que justifica un número de horas negativo al pretender pasar las 350 ppm.

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 EJEMPLO 2 En un laboratorio se ha obtenido la siguiente fórmula de un compuesto y = 75.x /(x+1) Siendo y el porcentaje de curaciones y x la cantidad en mgr de un determinado componente. a)Averigua la cantidad necesaria del componente para obtener el 25%, el 50%, el 75% y el 100% de curaciones. b)Representa gráficamente dicha función para poder visualizar el proceso y comprender algunas “rarezas” que te han debido salir en los anteriores cálculos.

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 RESOLUCIÓN f(x) = 75.x / (x+1), siendo x la cantidad del componente en mg a)Calculamos las cantidades necesarias: 25 = 75.x / (x+1)  25.(x+1) = 75.x 25.x+25 = 75.x  25 = 50.x  x = 0,50 mg 50 = 75.x / (x+1)  50.(x+1) = 75.x 50.x+50 = 75.x  50 = 25.x  x = 2 mg 75 = 75.x / (x+1)  75.(x+1) = 75.x 75.x+75 = 75.x  75 = 0.x  x = Error (oo mg) 100 = 75.x / (x+1)  100.(x+1) = 75.x 100.x+100 = 75.x  25.x = – 100  x = – 4 mg b)Tabla de valores: Cantidad mg.– 100,502oo– 4 % Curacionesoo0255075100

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 -1 0 1 2 3 4 Cantidad en mg 75 50 25 Porcentaje de curaciones (%) Parte de la gráfica que justifica un número de mg negativo al pretender pasar del 75% Asíntota Horizontal: y = lím 75.x / (x + 1) = [oo / oo] = 75 x  oo