@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VI Límites y continuidad.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VI Límites y continuidad

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS2 INDETERMINACIONES Tema 6.4bis * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS3 Indeterminada [oo - oo] Sabemos que k + oo = oo siempre. Sabemos que k - oo = - oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con una diferencia oo - oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo - oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que ha dado lugar a la indeterminación. Si el resultado es otra indeterminación, se procederá a resolverla.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS4 Ejemplo 1 lím x – √(x 2 - x) =[oo – oo] = x  oo (x – √(x 2 - x)). (x + √(x 2 - x)) Lím ----------------------------------------------------- = x  oo x + √(x 2 - x) x 2 - ( x 2 - x ) x Lím ------------------------------ = Lím ------------------------- = x  oo x + √(x 2 - x) x  oo x + √(x 2 - x) Simplificando todo entre x, queda: 1 1 Lím ------------------------------ = ------------------------- = 1 / (1+1) = 1 / 2 x  oo 1 + √(1 - 1/x) 1 + √( 1 – 0)

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS5 Ejemplo 2 lím √(x 2 - 2x + 3) – x =[oo – oo] = x  oo (√(x 2 - 2x + 3) – x ). (√(x 2 - 2x + 3) + x) Lím ----------------------------------------------------------- = x  oo √(x 2 - 2x + 3 ) + x x 2 – 2.x + 3 - x 2 - 2x + 3 Lím -------------------------------- = Lím ---------------------------- = x  oo √(x 2 - 2x + 3) + x x  oo √(x 2 - 2x + 3) + x Simplificando todo entre x, queda: - 2 + 3 / x - 2 + 0 Lím --------------------------------- = ----------------------- = - 2 / (1+1) = - 2 / 2 = -1 x  oo √(1 - 2/x + 3/ x 2 ) + 1 √( 1 – 0 + 0) + 1

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS6 Indeterminada [0.oo] Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplican las expresiones, se factoriza numerador y denominador y se simplifica la expresión: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L x  a x  a x  a Para ello sabemos que el límite de un producto es el producto de los límites ( Propiedad operativa de los límites ) cuando la variable x tiende al mismo valor.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS7 Ejemplo 1 x x 2 - 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑. ----------- = ---. --- = [oo.0] x  1 x - 1 x 0 1 Factorizamos los polinomios existentes que se puedan: x (x+1).(x-1) x+1 1+1 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ ------------- = lím ------- = ---- = 2 x  1 (x – 1).x x  1 1 1

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS8 Ejemplo 2 1 x 3 + 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑. Lím ---------- = ---. --- = - [oo.0] x  -1 x +1 x  - 1 x 0 -1 Resolvemos la indeterminación: (x+1).( x 2 – x +1) ( x 2 – x +1) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ ----------------- = lím --------------- = x  - 1 (x +1).x x  - 1 x (-1) 2 – (-1) + 1 1 + 1+ 1 3 = ‑‑‑‑‑‑‑‑ ----------------- = ------------- = ---- = - 3 - 1 -1 -1 Como se ve, el limite resultante no vale ni 0 ni oo.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS9 Indeterminada [1 oo ] Sabemos que 1 k = 1 siempre. Sabemos que k oo = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con 1 oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [ 1 oo ] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello sabemos que siempre el resultado va a ser e λ, con lo cual sólo queda calcular λ λ = Lím ( base – 1 ). exponente x  a Y el límite sería, si le hay : L = e λ

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS10 Sea la sucesión n 1 1 + ----, donde n es un número natural n Si hallamos su limite en el infinito: 1 n oo λ 1 n L = lím ( 1 + --- ) = 1 = e, donde λ = lím (1 + ---- – 1).n = --- = 1 n  oo n n  oo n n λ 1 Luego L = e = e = e El número e

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS11 El número e en las funciones

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS12 Ejemplos 1-2-3 (Siempre x  oo y sólo si [1 oo ])

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS13 Ejemplos 4-5-6 (Siempre x  oo y sólo si [1 oo ])

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS14 Ejemplo 7: 3 / (x-1) 3 / 0 x + 1 2 λ lím ------ ‑‑ = ‑ --- = [1 oo ] = Indeterminación = e x  1 2 2 λ = lím (base – 1 ). Exp x + 1 3 (x + 1 - 2).3 (x-1).3 λ = lím ( --------- - 1 ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím ---------------- = --------- = 3/2 x  1 2 x - 1 2 ( x - 1) (x -1).2 3/2 L = e Otra forma de cálculo

15 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS15 Ejemplo 8: (x 2 -1) /x [oo / oo] x + 1 oo λ lím ------ ‑‑ = ----- = … = [1 oo ] = Indet = e x  oo x oo λ = lím (base – 1 ). exp x + 1 (x 2 -1) x 2 - 1 oo λ = lím ( -------- - 1 ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím ------------- = [------ ] = … = 1 x  oo x x x 2 oo 1 L = e = e H ay que resolver las indet. [oo/oo].