@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES TEMA 13.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES TEMA 13

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 PROBABILIDAD TOTAL TEMA 13.8*1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Diagrama del árbol DIAGRAMA DE ÁRBOL Al igual que ocurría en Combinatoria, el uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. Para componer un diagrama de árbol seguiremos las siguientes normas: Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento. En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama. Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas. Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es uno.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 EJEMPLO 1 En una urna opaca, A, hay 2 bolas Blancas y 3 Negras. En otro urna opaca, B, hay 5 bolas Blancas y 4 Negras. Se extrae una bola de la urna A y luego otra de la B. a)¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean Blancas?. b)¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca y Negra, en ese orden?. c)¿Y de que sean de distinto color? 2/5 3/5 B N 5/9 4/9 B N 5/9 4/9 B N P(B∩B) = 2/5. 5/9 = 10 / 45 = 0,2222 (a) P(B∩N) = 2/5. 4/9 = 8 / 45 = 0,1778 (b) P(N∩B) = 3/5. 5/9 = 15 / 45 = 0,3333 P(N∩N) = 3/5. 4/9 = 12 / 45 = 0,2667 0,1778+0,3333 = 0,5111 (c)

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 EJEMPLO 2 En una urna opaca hay 3 bolas Blancas y 2 Negras. Se extrae una bola al azar. Si es Blanca se devuelve a la urna; pero si es Negra se devuelve a la urna una bola Blanca. Se extrae otra bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea Negra?. 3/5 2/5 B N 3/5 2/5 B N 4/5 1/5 B N P(B∩B) = 3/5. 3/5 = 9/25 = 0,36 P(B∩N) = 3/5. 2/5 = 5/25 = 0,20 P(N∩B) = 2/5. 4/5 = 8/25 = 0,32 P(N∩N) = 2/5. 1/5 = 2/25 = 0,08 Por la Regla de la suma: P(X∩N)= 0,20 + 0,08 = 0,28

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 PROBABILIDAD TOTAL Sea A1, A2, A3, … un sistema completo de sucesos. Se cumple: –S–Son incompatibles entre sí. –L–La unión de todos ellos es el suceso seguro. Sea B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas: P(B / A1), P(B / A2), …, P(B / An) Entonces se cumple: P(B) = P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)+P(A3).P(B/A3)+…+P(An).P(B/An) Si un suceso, B, se puede conseguir por más de un resultado de un experimento compuesto, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todos los sucesos que lo producen.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Ejemplo 1 En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas. Se elige un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad?. ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en la localidad?. Ejemplo 2 En la universidad, Ana, Beatriz y Carlos se alternan la tarea de tomar apuntes. En una semana toman 100, 150 y 250 páginas de apuntes respectivamente. Las páginas con errores son el 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma una página al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga errores?. ¿Y de que no? Enunciados Ejemplos 1 y 2

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 EJEMPLO 1 Empleando el diagrama del árbol P(L/A)=0,850,6.0,85= 0,51Chica y viva en L P(A)=0,6 P(NL/A)=0,150,6.0,15= 0,09 Chica y no viva en L P(L/O)=0,70,4.0,7= 0,28 Chico y viva en L P(O)=0,4 P(NL/O)=0,30,4.0,3= 0,12 Chico y no viva en L P(L) = 0,51 + 0,28 = 0,79 P(NL) = 0,09 + 0,12 = 0,21 Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 EJEMPLO 2 Empleando el diagrama del árbol P(E/A)=0,050,2.0,05= 0,01De Ana y con errores P(A)=0,2 P(NE/A)=0,950,2.0,95= 0,19 De Ana y sin errores P(E/B)=0,030,3.0,03= 0,009 De Bea y con errores P(B)=0,3 P(NE/B)=0,970,3.0,97= 0,291 De Bea y sin errores P(E/C)=0,020,5.0,02= 0,01 De Carlos y con errores P(C)=0,5 P(NE/C)=0,980,5.0,98= 0,49 De Carlos y sin errores P(E) = 0,01+0,009+0,01=0,029P(NE)=0,19+0,291+0,49=0,971

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 TEOREMA DE BAYES TEMA 13.9*1º BCS

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 TEOREMA DE BAYES Si A1, A2, A3, … es un sistema completo de sucesos, y B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces las probabilidades de la forma P(Ai / B) se calculan mediante la expresión: P(Ai).P(B / Ai) P(Ai / B) = ------------------------------------------------------------------------------ P(A1).P(B / A1) + P(A2).P(B / A2) + … + P(An).P(B / An) DondeP(Ai) son las probabilidades a priori. P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori. P(B / Ai) son las verosimilitudes. Ejemplo 1 En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas.. Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en la localidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?.

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 Resolución Probabilidades a priori: P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6  Sea chica. P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4  Sea chico. Probabilidades a posteriori: P(A / L) = 85% = 85 / 100 = 0,85  Sea chica y viva en la loc. P(O / L)= 70% = 70 / 100 = 0,7  Sea chico y viva en la loc. Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes P(O).P(L / O) 0,4. 0,7 0,28 P(O / L) = --------------------------------------- = ---------------------------- = -------- = P(A).P(L / A) + P(O).P(L / O) 0,6. 0,85 + 0,4. 0,7 0,79 = 0,3544

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 Resolución gráfica P(O)=0,4 P(A) = 0,6 P(NL / A)=0,15 P(L / O) = 0,7 P(NL / O) = 0,3 P(A).P(L/A) = 0,6.0,85 = 0,51 P(A).P(NL/A) = 0,6.0,15 = 0,09 P(O).P(L/O) = 0,4. 0,7 = 0,28 P(O).P(NL/O) = 0,4.0,3 = 0,12 D I E A G Á R A B M O A L

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 Ejemplo_2: En una casa hay tres llaveros, A, B y C, con 5, 7 y 8 llaves respectivamente. Sólo una llave de cada llavero abre el trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero. a)¿Cuál es la probabilidad de que se acierte con la llave?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el llavero escogido sea el C y la llave no abra?. c) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?. d) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al tercer llavero C?. RESOLUCIÓN Probabilidades a priori: P(A) = 1/3 = 0,3333  Sea el primer llavero. P(B) = 1/3 = 0,3333  Sea el segundo llavero. P(C) = 1/3 = 0,3333  Sea el tercer llavero.

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I15 Probabilidades a posteriori: P(A / L)= 1/5 = 0,20  Abra la llave del llavero A. P(B / L)= 1/7 = 0,1428  Abra la llave del llavero B. P(C / L)= 1/8 = 0,125  Abra la llave del llavero C. P(A / NL) = 4/5 = 0,80  No abra la llave del llavero A. P(B / NL) = 6/7 = 0,8572  No abra la llave del llavero B. P(C / NL) = 7/8 = 0,875  No abra la llave del llavero C. a)Probabilidad de acertar con la llave: P(L)= P(A).P(L/A) + P(B).P(L/B) + P(C).P(L/C) = = 0,3333.0,20 + 0,3333.0,1428 + 0,3333.0,125 = = 0,066667 + 0,047619 + 0,041667 = 0,155953 b) Probabilidad de que el llavero sea el C y la llave no abra: P(C / NL) = P(C). P(NL/C) = 0,3333. 0,875 = 0,291667

16 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I16 c) Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero A: Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes P(A).P(L / A) P(A / L) = ---------------------------------------------------------- = P(A).P(L/ A) + P(B).P(L/ B) + P( C ).P(L/C) 0,3333. 0,20 = -------------------------------------------------------------------------- = 0,3333. 0,20 + 0,3333. 0,1428 + 0,3333. 0,125 = 0,066667 / ( 0,066667 + 0,047427 + 0,041667) = 0,427479 d) Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero C: P(C).P(L / C) P(C / L) = ---------------------------------------------------------- = P(A).P(L/ A) + P(B).P(L/ B) + P( C ).P(L/C) = 0,041667 / 0,155953 = 0,267176

17 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I17 Resolución gráfica P(A)=1/3 P(C)=1/3 P(B)=1/3 P(L)=1/5  P(A).P(L/A) = 1/3. 1/5 = 0,0667 P(NL)=4/5  P(A).P(NL/A) = 1/3.4/5 = 0,2667 P(L)=1/7  P(B).P(L/B) = 1/3. 1/7 = 0,0476 P(NL)=6/7  P(B).P(NL/B) = 1/3.6/7 = 0,2856 P(L)=1/8  P(C).P(L/C) = 1/3. 1/8 = 0,0416 P(NL)=7/8  P(C).P(NL/C) = 1/3. 7/8 = 0,2912

18 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I18 APLICACIONES TEMA 13.10*1º BCS

19 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I19 PROBLEMAS PROPUESTOS APLICACIÓN 1 Un grupo de 7 amigos se juegan a los dados quien conducirá tras una tarde-noche de fiesta, y por tanto quien no deberá beber de cara al viaje de regreso sin accidente por medio. El que primero saque un siete no bebe y por tanto conduce. ¿Tiene ventaja quien empiece?. Halla la probabilidad de cada uno. Realiza una tabla de doble entrada y luego ayúdate con un diagrama de árbol. APLICACIÓN 2 En una urna opaca hay cuatro bolas blancas y una negra. Cuatro amigos, Ana, Bea, Carlos y Diego, deben sacar al azar una bola, sin reinsertarla en la urna después. El que saque la bola negra paga la consumición de todos. ¿Tiene ventaja quien empiece?. Halla la probabilidad de cada uno. Ayúdate con un diagrama de árbol.

20 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I20 SOLUCIONES PROBLEMAS PROPUESTOS APLICACIÓN 1 P(A) = 1/6 = 0,1666667 de que saque un 7 y le toque no beber. P(B) = (5/6).(1/6) = 0,138888 P(C) = (5/6) 2.(1/6) = 0,1157407 P(D) = (5/6) 3.(1/6) = 0,09645 P(E) = (5/6) 4.(1/6) = 0,080375 P(F) = (5/6) 5.(1/6) = 0,06698 P(G) = (5/6) 6.(1/6) = 0,05581 Tiene clara desventaja quien comience. APLICACIÓN 2 P(A) = 1/5 = 0,2 de que pague la consumición. P(B) = (4/5).(1/5) = 0,8.0,2 = 0,16 P(C) = (4/5) 2.(1/5) = 0,64.0,2 = 0,128 P(D) = (4/5) 3.(1/5) = 0,512.0,2 = 0,1024 Tiene una pequeña desventaja quien comience.