@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 PROBABILIDAD TEMA 14.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 PROBABILIDAD TEMA 14

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 UNIÓN E INTERSECCIÓN DE SUCESOS TEMA 14.6 * 3º ESO

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 5.-SUCESOS INCOMPATIBLES Si A y B son sucesos incompatibles ( no se pueden dar a la vez ) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades. Al no poder darse a la vez, no hay intersección, no hay elementos comunes: A∩B = Ø Podemos poner: P(A U B) = P(A) + P(B) Ejemplos 1.-Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea oro o copa. P(O U C) = P(O) + P(C) = (10/40) + (10/40) = 0,25 + 0,25 = 0,5 2.-Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 ó un 6. P(5 U 6) = P(5) + P(6) = (1/6) + (1/6) = 0,166667 + 0,166667 = 0,333333 Sucesos incompatibles

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 6.-SUCESOS COMPATIBLES Si A y B son sucesos compatibles (se pueden dar a la vez) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades menos el producto de las mismas. Al poder darse a la vez, hay intersección, hay elementos comunes: A∩B ≠ Ø Debemos poner: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) Ejemplo 1 Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una figura. P(O U F) = P(O)+P(F) - P(O).P(F) = = (10/40)+(12/40) - (10/40).(12/40) = 0,475 Vemos que hay tres figuras de oros. El producto P(O).P(F) representa las tres figuras que se repiten, que son idénticas. Sucesos compatibles

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 Ejemplo 2 Hallar la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja el resultado sea un oro o un rey. P(O)=10/40=0,25 P(R) =4/40=0,10 P(OUR)=P(O)+P(R) - P(O).P(R) P(OUR)=0,25+0,10 – 0,25.0,10 P(OUR)=0,35 – 0,025 P(OUR)=0,325 1 2 3 Rc 4 5 Re 67 Ro Rb So Co R O E 27 cartas más

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Ejemplo 3 Un cazador, A, acierta 3 veces de cada 5 disparos. Otro cazador, B, acierta 4 veces de cada 8 disparos. Salen los dos a cazar y disparan a una pieza al unísono. Hallar la probabilidad de que … a)Acierten el disparo los dos. b)La pieza sea cazada. c)La pieza resulte libre. a)Los sucesos son compatibles, pues pueden acertar los dos. P(A) = 3/5 = 0,60 P(B) = 4/8 = 0,50 P(AΛB) = P(A).P(B) = 0,60.0,50 = 0,30 b)La pueden acertan A, B o ambos. P(AUB)=P(A) + P(B) – P(A).P(B) = = 0,60 + 0,50 – 0,30 = 1,10 – 0,30 = 0,80 Si no restamos el producto ( por ser compatibles) observar que la suma nos hubiera dado 1,10, lo cual es un valor imposible en probabilidad. c)Resultar libre es lo contrario de resultar cazada. P(L) = 1 – P(C) = 1 – 0,80 = 0,20

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Ejemplo 4 La probabilidad de que Ana apruebe Matemáticas es del 55% y de que apruebe Física es del 35%. Hallar la probabilidad de que … a)Apruebe las dos. b)Apruebe Matemáticas, Física o ambas. c)No apruebe ninguna. d)Apruebe sólo Matemáticas. a)Los sucesos son compatibles, pues puede aprobar ambas. P(Matemáticas) = P(M) = 55% = 55/100 = 0,55 P(Física) = P(F) = 35% = 35/100 = 0,35 P(MΛF) = P(M).P(F) = 0,55.0,35 = 0,1925 b)Que apruebe M, F o ambas. P(MUF)=P(M) + P(F) – P(M).P(F) = = 0,55 + 0,35 – 0,1925 = 0,9000 – 0,1925 = 0,7075 c)Que no apruebe ninguna: P(Ninguna) = 1 – P(Alguna o ambas) = 1 – 0,7075 = 0,2925 d)Que apruebe sólo Matemáticas: P(MΛNF) = P(M).P(NF) = P(M).[1 – P(F)] = 0,55.(1 – 0,35) = 0,3575

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Ejemplo 5 Una vivienda rural es compartida por tres familias, A, B y C. Ocupan el 55%, el 40% y el 30% de la vivienda respectivamente. Hay espacios comunes a dos y a las tres familias. Hallar la probabilidad de que eligiendo un lugar al azar: a) Coincidan A y B b) Coincidan A y C c) Encontremos B o C d) Encontremos A o C e) Encontremos A, B o C FAMILIA A FAMILIA B FAMILIA C

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Resolución Aunque no nos lo hubiera indicado el enunciado, hay zonas comunes, pues en total no pueden ocupar el 55+40+30 =125% de la vivienda. a) Coincidan A y B P(A∩B)=P(A).PB)= 0,55.0,40=0,22 b) Coincidan A y C P(A∩C)=P(A).P(C)= 0,55.0,30=0,165 c) Encontremos B o C P(BUC)=P(B)+P(C) - P(B).P(C)= 0,40+0,30 – 0,40.0,30 =0,58 d) Encontremos A o C P(AUC)=P(A)+P(C) - P(A).P(C)= 0,55+0,30 – 0,55.0,30 =0,685 e) Encontremos A, B o C P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A).P(B) - P(B).P(C) – P(A).P( C) + + P(A).P(B).P(C) = = 0,55+0,4+0,30 – 0,22 – 0,12 – 0,165 + 0,55.0,4.0,30 = 0,811

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 Son muy usadas en problemas donde se precisa organizar los datos para calcular probabilidades. En general los sucesos a trabajar son incompatibles entre sí, aunque estén relacionados. Ejemplo_1 En la presente tabla de contingencia, hallar la probabilidad de que elegido un alumno al azar, este sea: a)Chico. b)Chica. c)Chico en ESO d)Chica en ESO e)Chico en Bachillerato d)Chica en Bachillerato. d)Alumno en ESO e)Alumno en Bachillerato Tablas de contingencia Chico Chica ESO 145 130 275 BACH 50 75 125 195 205 400

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 Resolución a)Chico. P(A)=195/400=0,4875 b)Chica. P(B)=205/400=0,50125 c)Chico en ESO P(C)=145/400=0,3625 d)Chica en ESO P(D)=130/400=0,325 e)Chico en Bachillerato P(E)=50/400=0,125 f)Chica en Bachillerato. P(F)=74/400=0,185 g)Alumno en ESO P(G)=275/400=0,6875 h)Alumno en Bachillerato P(H)=125/400=0,3125 Chico Chica ESO 145 130 275 BACH 50 75 125 195 205 400

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 Ejemplo_2 En la presente tabla de contingencia sobre la dedicación preferente del tiempo libre de los alumnos de un instituto, hallar la probabilidad de que: a)Sea chico y se dedique al deporte. b)Sea chica y se dedique a la lectura o los juegos. c)Se dedique a ver Cine/TV d)Se dedique a la música. Resolución P(A)= 60/400 = 0,15 P(B)=45/400 + 10/400 = =55/400 = 0,1375 P(C)= 60/400=0,15 P(D)=175/400 =0,4375 Chico Chica Música 55 120 175 Deporte 60 15 75 Lectura 20 45 65 Juegos 15 10 25 Cine/TV 45 15 60 195 205 400