Problemas Resueltos sobre Sucesiones Monótonas Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Demostrar que la sucesión es monótona. Problema 1 Solución Sea Entonces para todo n. Por lo tanto la sucesión (an) = es creciente. Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Se define la sucesión (an) de la forma an = 1 y Estudiar la convergencia de esta sucesión. Solución El siguiente dibujo muestra el intervalo [1/2,1] con algunos términos de an. a5=47/60 a6=37/60 a2=1/2 a4=7/12 a3=5/6 a1=1 La sucesión (a1,a2,a3,…) no es creciente ni decreciente. Por lo tanto no es monótona, pero parece que los términos impares de la sucesión (an) forman una sucesión decreciente y los pares una sucesión creciente. Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Se define la sucesión (an) de la forma an = 1 y Estudiar la convergencia de esta sucesión. Solución (cont.) Hemos visto que (a1,a2,a3,…) no es monótona. Sea bm = a2m, y cm = a2m-1, para m = 1,2,3,… . Entonces Conclusión: la sucesión (bm) es creciente. Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Se define la sucesión (an) de la forma an = 1 y Estudiar la convergencia de esta sucesión. Solución (cont.) Sean bm = a2m, y cm = a2m-1, para m = 1,2,3,… . Hemos visto que (bm) es una sucesión creciente. Asimismo Conclusión: la sucesión (cm) es decreciente. Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Se define la sucesión (an) de la forma an = 1 y Estudiar la convergencia de esta sucesión. Solución (cont.) Sean bm = a2m, y cm = a2m-1, para m = 1,2,3,… . Hemos visto que (bm) es creciente y (cm) es decreciente. Observamos que bm < cm para todo m ya que Entonces bm < cm < c1, luego la sucesión (bm) está acotada superiormente (por c1). En consecuencia la sucesión (bm) tiene límite. Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

Sucesiones monótonas. Problemas resueltos Se define la sucesión (an) de la forma a1 = 1 y Estudiar la convergencia de esta sucesión. Solución (cont.) Sean bm = a2m, y cm = a2m-1, para m = 1,2,3,… . Hemos visto que la sucesión (bm) tiene límite. Con un razonamiento similar demostramos que (cm) tiene límite. Ya que , estos límites son los mismos. Observación Más tarde veremos que Límite=ln 2 c1=1 b1=1/2 c2=5/6 b2=7/12 c3=47/60 b3=37/60 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä