Límites de Sucesiones de Números Reales Sucesiones de Números Reales Límites por definición Regla de Sandwich Uso de la Regla de Sandwich Sucesiones Monótonas Sucesiones. Recopilación teoría

Sucesiones. Recopilación teoría Sucesiones Numéricas Definición Ejemplos 1 2 3 Sucesiones. Recopilación teoría

Sucesiones. Recopilación teoría Límites de Sucesiones Definición Si una sucesión tiene límite finito, decimos que la sucesión es convergente o que converge. En caso contrario la sucesión diverge o es divergente. Ejemplos 1 2 3 La sucesión (1,-2,3,-4,…) diverge. Notación Sucesiones. Recopilación teoría

Cálculo de Límites de Sucesiones (1) Ejemplos 1 2 Sucesiones. Recopilación teoría

Cálculo de Límite de Sucesiones Ejemplos continuación 3 Sucesiones. Recopilación teoría

Cálculo de Límites con Maple Comandos de Maple Limit y limit Limit(f,x=a,dir) y limit(f,x=a,dir) Llamada a la Sucesión Este comando calcula el límite de la expresión f cuando la variable x se aproxima al valor a. La opción dir puede ser usada para elegir la dirección por la que la variable x se aproxima al valor a. Cuando calculamos el límite de una sucesión, f es el término general de la sucesión y la variable x toma sólo valores enteros positivos y se aproxima a infinito. Sucesiones. Recopilación teoría

Definición Formal de Límite de Sucesiones Ejemplo Sucesiones. Recopilación teoría

Sucesiones. Recopilación teoría Límite de Sumas Teorema Demostración Por la Desigualdad Triangular Sucesiones. Recopilación teoría

Sucesiones. Recopilación teoría Límite de Productos El mismo razonamiento que para las sumas puede utilizarse para demostrar la siguiente propiedad. Teorema Observación Ejemplo Sucesiones. Recopilación teoría

Regla de Sandwich para Sucesiones Teorema Demostración Sucesiones. Recopilación teoría

Uso de la Regla de Sandwich Ejemplo Solución Esto es difícil de calcular usando los métodos estandar porque n! está definido sólo si n es un número natural. Así los términos de la sucesión en cuestión no vienen dados por una función elemental a la cual podamos aplicar técnicas como la regla de L’Hopital. Aquí cada término k/n < 1. Sucesiones. Recopilación teoría

Uso de la Regla de Sandwich Problema Solución Sucesiones. Recopilación teoría

Sucesiones. Recopilación teoría Sucesiones Monótonas Definición Una sucesión (a1,a2,a3,…) es creciente si an ≤ an+1 para todo n. Una sucesión (a1,a2,a3,…) es decreciente si an+1 ≤ an para todo n. Una sucesión (a1,a2,a3,…) es monótona si es o bien creciente o decreciente. Una sucesión (a1,a2,a3,…) está acotada si existen dos números M y m tales que m ≤ an ≤ M para todo n. Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Observesé que es suficiente con demostrar el teorema para las sucesiones crecientes (an), ya que si (an) es decreciente, entonces se considera la sucesión creciente (-an). Sucesiones. Recopilación teoría

Sucesiones. Recopilación teoría Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Demostración Sea (a1,a2,a3,…) una sucesión creciente acotada. Entonces el conjunto {a1,a2,a3,…} está acotado superiormente Por el hecho de que el conjunto de números reales es completo, s=sup {a1,a2,a3,…} es finito. Afirmación Sucesiones. Recopilación teoría

Sucesiones. Recopilación teoría Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Demostración Sea (a1,a2,a3,…) una sucesión creciente acotada. Sea s=sup {a1,a2,a3,…}. Afirmación Demostración de la afirmación Sucesiones. Recopilación teoría

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä