Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton Problemas resueltos del método de Newton Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton

Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton El método de Newton Una función derivable f, un valor inicial x0 y un número positivo . El número  determina la precisión del cálculo. Entrada Iteración Sea Sea x1 = F(x0) e iterativamente xn+1 = F(xn). Parada Cuando |xn+1 – xn| < . xn+1 es una aproximación de una solución a la ecuación f (x) = 0. La validez de la aproximación se ha de comprobar por métodos como, por ejemplo, el teorema de valor medio. El algoritmo puede llevar a falsas soluciones en casos especiales y puede no converger si el valor inicial no está bien elegido. Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton

Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton 1 Aplicar el método de Newton para aproximar la raíz del polinomio 6x8 – 31x6 + 40x4 – x2 – 6 que está en el intervalo [0,1]. 2 Aplicar el método de Newton a la ecuación 1/x – a = 0 para estimar de forma aproximada el recíproco de un número a. 3 Aplicar el método de Newton a la ecuación x2 – a = 0 t o para estimar de forma aproximada el la raíz cuadrada de un número a. Usar el algoritmo para aproximar Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton

Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton Aproximando Raíces Aplicar el método de Newton para aproximar la raíz del polinomio 6x8 – 31x6 + 40x4 – x2 – 6 que está en el intervalo [0,1]. Problema Solución La función de iteración F es La gráfica de y = 6x8 – 31x6 + 40x4 – x2 – 6. Para hallar una estimación de la raíz en el intervalo [0,1], el punto inicial debe ser escogido en ese intervalo. La función F para usar en la iteración es complicada así como la elección del valor inicial. Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton

Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton Aproximando Raíces Aplicar el método de Newton para aproximar la raíz del polinomio 6x8 – 31x6 + 40x4 – x2 – 6 que está en el intervalo [0,1]. Problema Solución La función F de iteración es Para a = 0.5, se tiene: x0 = 0.81048 x1 = 0.71118 x2 = 0.70712 x3 = 0.70711. Como f(0.69)  -0.44644 < 0 y f(0.71)  0.076916 > 0, el polinomio f debe tener una raíz entre 0.69 y 0.71. El método de Newton da rápidamente una buena aproximación de la raíz. Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton

Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton Cálculo de recíprocos Aplicar el método de Newton a la ecuación 1/x – a = 0 para estimar de forma aproximada el recíproco de un número a. Problem Solution La función F de iteración es Para a = 3, se tiene: x0 = 0.5 x1 = 0.25 x2 = 0.3125 x3 = 0.33203125 x4 = 0.33332824 x5 = 0.33333333. Esta iteración es sensible a la elección del valor inicial. Los ordenadores calculan recíprocos usando sólo multiplicaciones y restas. Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton

Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton Cálculo de recíprocos Aplicar el método de Newton a la ecuación 1/x – 3 = 0 para estimar de forma aproximada el recíproco del número 3. Problema Solución Usando el método de Newton con el valor inicial x0 = 0.5 se obtiene rápidamente una buena aproximación. Si el valor inicial x0 no se escoge bien la iteración no converge. Si x0 > 2/3 o x0 < 0, la iteración no converge. Si x0 = 0, la iteración siempre da el valor 0, y además no es aplicable pues la función f(x) = 1/x – 3 no está definida para x = 0. Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton

Cálculo de raíces cuadradas Aplicar el método de Newton a la ecuación x2 – a = 0 para hallar de forma aproximada la raíz cuadrada de un número a. Usar el algoritmo para aproximar Problema Solución La función F de iteración es Así hallaban los Babilonios las raíces cuadradas. Para a = 7, se obtiene: x0 = 7 x1 = 2.654891304 x2 = 2.645767044 x3 = 2.645751311. Todos los dígitos mostrados en la estimación x3 son correctos! Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä