Problemas resueltos del Teorema de Rolle Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle Sea f una función tal que: f es continua en el intervalo cerrado [a,b], f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f se anula, es decir, f’(c) = 0. Teorema Teorema de Rolle gráficamente El Teorema de Rolle afirma que, si f(a) = f(b), entonces existe un punto c entre a y b tal que la tangente a la gráfica de f en (c,f(c)) es horizontal. a c b Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle 1 Demostrar que la ecuación 2x – cos x – sen x = 0 tiene exactamente una solución. 2 Demostrar, utilizando el principio de inducción, que todo polinomio de grado n tiene como mucho n raíces distintas. Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle Demostrar que la ecuación 2x – cos x – sen x = 0 tiene exactamente una solución. Observaciones Sea f(x) = 2x – cos x – sen x. Tenemos que demostrar que la función f toma el valor 0 exactamente una vez. La figura de la derecha muestra la gráfica de la función f para –1 < x < 2. Mirando la gráfica, uno puede ya pensar que la ecuación f(x) = 0 tiene exactamente una solución. Lo justificaremos además, basándonos en el Teorema de los Valores Intermedios y el Teorema de Rolle. Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle Demostrar que la ecuación 2x – cos x – sen x = 0 tiene exactamente una solución. Sea f(x) = 2x – cos x – sen x. Tenemos que demostrar que la función f toma el valor 0 exactamente una vez. Solución Vemos claramente que la función f es continua y derivable. Como f(0) = –1 and f(1) = 2 – cos 1 – sen 1 > 0, la función f toma el valor 0 en el intervalo (0,1) por el Teorema de los Valores Intermedios. Si la función f toma el valor 0 dos veces o más, la ecuación f’(x) = 0 tiene también soluciones por el Teorema de Rolle. f´(x) = 0  2 + sen x - cos x = 0. Esta ecuación no tiene ninguna solución pues 2 + sen x - cos x > 0 para todo x. Por lo tanto, la ecuación original tiene solo una solución. Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle Demostar, usando el principio de Inducción, que todo polinomio de grado n tiene como mucho n raíces distintas. Solución Un polinomio de grado 1 es de la forma P(x) = a1 x + a0 con a1  0. Este polimonio tiene siempre una raíz, x = –a0/a1. Por tanto la afirmación tiene sentido para n = 1. 1 Suposición de Inducción: Suponemos que todo polinomio de grado n tiene, como mucho, n raíces distintas. 2 Sea P un polinomio de grado n + 1. Tenemos que demostrar que tiene, como mucho, n + 1 raíces distintas. 3 Para ello, supongamos que P tiene n + 2 o más raíces. Luego, por el Teorema de Rolle, la derivada P’ tiene n + 1 raíces. Pero esto es imposible, al ser P’ un polinomio de grado n, ya que por la Suposición de Inducción, tal polinomio puede tener como mucho n raíces distintas. Por lo tanto, P tiene como mucho n + 1 raíces distintas. Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä