La regla de L´Hôpital Aplicaciones de la derivada al cálculo de límites

Evaluación de indeterminaciones Al evaluar ciertas expresiones, para ciertos valores de las variables, el resultado, al hacer la sustitución directa, puede ser de la forma: Es lo que se conoce como INDETERMINACIONES. A una expresión de este tipo, que por sustitución directa es indeterminada, puede asignarsele un valor tomando límites. Ejemplo Se sabe, por otras consideraciones, que La derivación proporciona un algoritmo para calcular límites, de forma mecánica, en muchos casos. Se conoce como la Regla de l’Hospital (1696). Nota: El nombre también se escribe l’Hôpital. Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital

Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital La regla de L´Hôpital La regla de L’Hospital Supongamos que las funciones f y g son derivables y que g’( x ) ≠ 0 para x próximo a a. Supongamos que o y . Entonces Supuesto que el último limite exista y que g’ no cambie de signo infinitas veces cerca del punto a. Esta simple condición excluye ciertos casos especiales para los cuales la regla no funciona Observación La regal de L’Hospital puede también aplicarse a los límites laterales o límites en el infinito La regla puede aplicarse repetidamente, suponiendo que, después de un cierto número de derivaciones se obtiene un límite (no es una indeterminación) Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital

Prueba Prueba, en un caso especial, de la regla de l’Hospital Supongamos que f’ y g’ son funciones continuas en un punto a, y que g’(a) ≠ 0. Supongamos también que f( a ) = g( a ) = 0. Entonces Lo reescribimos usando el hecho que f(a)=g(a)=0. Demostración En lo anterior suponemos que x ≠ a. La continuidad de las derivadas f’ y g’ da lugar a la última igualdad. Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital

Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital Ejemplos Ejemplo Determine Solución Hemos escrito antes que Entonces podemos concluir, sin más cálculos, que También se puede hallar el límite usando la regla de l’Hospital: Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital

Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital Un error usual Regla de L’Hospital Al aplicar la regla de l’Hospital, se tiene que derivar el numerador y el denominador separadamente. Un error usual es derivar el cociente f( x )/g( x ). Ésto da lugar a tediosos, innecesarios y ERRÓNEOS cálculos. Correcto Cálculo erróneo =??? No caer en este error. El cálculo es incorrecto!!!! Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital

Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital Ejemplo Ejemplo Determinar usando la regla de L´Hospital Solución Hemos visto ya que Que se puede hallar aplicando dos veces la regla de L’Hospital : Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital

Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital Límites en el Infinito La regla de L’Hospital se puede también aplicar cuando la variable tiende a ± infinito: Ejemplo Hallar el límite Solución Aplicando la regla de L’Hospital se tiene: Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital

La regla de L’Hospital no funciona siempre La regla de ’Hospital puede fallar incluso aunque exista el límite Ejemplo Hallar el límite Solución Aplicando la regla de l’Hospital se obtiene La última expresión no tiene límite y ya no se puede aplicar más la regla de l’Hospital Sin embargo reescribiendo el límite se obtiene pues Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital

La regla de L’Hospital no funciona siempre La regla de ’Hospital puede fallar incluso aunque exista el límite Ejemplo Hallar el límite . Solución Aplicando dos veces la regla de l’Hospital se tiene Por tanto no se puede hallar el límite aplicando la regla de l’Hospital Reescribiendo el límite Derivación. Aplicaciones de la derivada. regla de L’Hospital

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä