Ing. Antonio Crivillero Regla de L’Hôpital Ing. Antonio Crivillero
Regla de L’Hôpital: Teorema Sean f y g funciones derivables sobre el intervalo abierto (a,b), excepto posiblemente en un un punto x0 de este intervalo, con g’(x)K0 para todo x X(a,b) y xKx0 tales que y si entonces
Regla de L’Hôpital: Demostración y f Podemos suponer que f (x0)=0 y g (x0)=0 Tomando x X(x0,b) y aplicando el Teorema del Valor Medio generalizado (Cauchy) tenemos: x a x0 c x b g x0 < c < x de donde:
Regla de L’Hôpital: Demostración y f g cuando x a x c x0 c x b Cuando la demostración es completamente análoga, tomando x X(a,x0), y se demuestra que
Regla de L’Hôpital: Demostración Como y x0 x L
Algunas consideraciones importantes: 1) En el caso que f ’ y g’ satisfagan las mismas condiciones que f y g, el proceso se puede reiterar. El teorema puede generalizarse a los casos en que o 2) En los casos en que x0 = a ó x0 = b 3) cuando sólo hay límites unilaterales o
Caso Especial Para el caso en que f (x0) = g (x0) = 0, f ’ y g ’ son continuas y g’ (x0)K0 es fácil ver por qué la regla de L’Hôpital es verdadera. Si se aplica la forma alterna de la definición de la derivada:
Interpretación Visual Sean f y g dos funciones diferenciables con f (x0) = g (x0) = 0 Amplificando el punto (x0,0): y f y = m1 ( x – x0 ) g y = m2 ( x – x0 ) x0 x x0 Si f y g fueran en realidad lineales, su razón sería: Esto sugiere que
Regla de L’Hôpital: Orígenes La Regla de L’Hôpital recibe este nombre en honor de un noble francés, el marqués de L’Hôpital (1661-1704), pero fue descubierta por el matemático suizo John Bernoulli (1667-1748). John Bernoulli Marqués de L’Hôpital Ambos mantenían un curioso arreglo de negocios, por medio del cual el marqués de L’Hôpital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli.
Regla de L’Hôpital: Orígenes La primera aparición impresa de la Regla fue en el libro “Analyse des Infiniment Petits”, publicado por el marqués de L’Hôpital en 1696. Fue el primer libro de texto de Cálculo alguna vez publicado. El ejemplo que allí utilizó el marqués para ilustrar la Regla fue hallar el límite de la función cuando , donde a > 0